..:: FIZYKA ::..

Grawitacja

Część III
Czym jest I prędkość kosmiczna?

Wprowadzenie

Na pewno nie jest niczym kosmicznym w tym sensie, że nie do ogarnięcia. Ba, mimo nazwy odsyłającej do NASA damy radę w kategorii NASAklasa z akcentem na błędną czyli dziecinną wymowę. Zatem jak ugryźć ten problem. Najłatwiej to chwycić kamień i mocno się zamachnąć, tak mocno by nadleciał z drugiej strony i walnął łeb. Jeśli by tak się stało, to przy pominięciu oporów powietrza właśnie mu nadaliśmy prędkość, którą zwiemy pierwszą prędkością kosmiczną.

Zatem zastanówmy się co więcej można o niej powiedzieć. Może istnieje sposób na łatwe jej wyliczenie. Spróbujmy.

Ruch po okręgu w centralnym polu grawitacyjnym

Zastanówmy się chwilę jaka jest różnica między jednorodnym a centralnym polem grawitacyjnym. Pomocny może okazać się poniższy rysunek.

Czym jest I prędkość kosmiczna
  1. Centralne pole grawitacyjne jest rozłożone wokół pewnego centrum. W naszym przykładzie jest to kula ziemska. Widzimy, że gęstość linii imitujących to pole jest duża blisko centrum, maleje wraz z oddalaniem się od niego. Jeśli w takim polu znajdzie się inne ciało masywne (na przykład satelita) to siły wzajemnego oddziaływania będą działać wzdłuż tych linii. Im ciało znajduje się wyżej tym słabiej odczuwa działanie sił. Wartość siły wzajemnego oddziaływania obliczamy z prawa powszechnego ciążenia: wzór.
  2. Jednorodne pole grawitacyjne. W każdym punkcie przestrzeni ma taką samą wartość, linie pola równoległe do siebie. Takie cechy ma w niewielkiej odległości od powierzchni Ziemi jej pole grawitacyjne. W każdym jego miejscu siła wzajemnego oddziaływania między Ziemią a ciałem może być obliczona z prostego wzoru wzór.

Jak w takim razie opisać ruch po orbicie w centralnym polu grawitacyjnym?
Z jakich narzędzi powinniśmy skorzystać?

Czym jest I prędkość kosmiczna
  1. Jeśli ruch po okręgu (zakładamy, że ze stałą szybkością) to nieustannie ulega w nim zmianie kierunek i zwrot prędkości. W takim razie mamy zmianę prędkości wzór czyli ruch z przyspieszeniem dośrodkowym (radialnym) wzór.
  2. Wartość przyspieszenia dośrodkowego obliczamy ze wzoru wzór.
  3. Jeśli ciało porusza się z przyspieszeniem to musi działać na niego siła. Związek między masą ciała, jego przyspieszeniem (w tym przypadku dośrodkowym) oraz wpływającą na nie siłą znajdziemy korzystając z II zasady dynamiki Newtona: wzór.
  4. Jeśli ciało zakręca (porusza się po orbicie kołowej) wokół naszej planety, wartość siły zmieniającej kierunek i zwrot prędkości możemy wyznaczyć z prawa powszechnego ciążenia (ruch w centralnym polu grawitacyjnym) wzór.

Połączmy teraz ze sobą trzy ostatnie wzory. Zobaczmy, co się dzieje. Jeśli porównamy ze sobą wzór na przyspieszenie dośrodkowe z drugą zasadą dynamiki otrzymamy zależność:

wzór

Po wymnożeniu obu stron przez masę ciała (satelity) wzór otrzymujemy równanie na wartość siły dośrodkowej.

wzór

Popatrzmy na ten wzór. Mamy ciało (satelitę) o masie wzór i chcemy by utrzymywało się w odległości wzór od Ziemi. Ale w określonej odległości działa na nie stała siła więc i jego prędkość musi być określona. Będzie większa – ucieknie, będzie mniejsza – spadnie.

Jeśli chcemy obliczyć jaką prędkość powinno mieć ciało (satelita) w danej odległości od centrum Ziemi musimy wiedzieć o jakiej wartości siła będzie na nie działać. I tu z pomocą przychodzi prawo powszechnego ciążenia. Porównajmy to prawo z wzorem na siłę dośrodkową:

wzór

Uprościmy to równanie w taki sposób, że obie jego strony pomnożymy przez odległość od środka Ziemi wzór oraz podzielimy przez masę ciała (satelity) wzór. Otrzymamy wówczas zależność:

wzór

Po obustronnym spierwiastkowaniu nasze równanie sprowadza się do postaci:

wzór

Mamy wreszcie to, czego poszukiwaliśmy. Żeby wiedzieć jaką musimy nadać ciału (satelicie) prędkość w kierunku poziomym, tak by pozostało na orbicie, nie uciekło i nie spadło, musimy znać odległość od środka Ziemi wzór na jakiej chcemy by pozostało, dodatkowo wartość stałej powszechnego ciążenia wzór i masę Ziemi wzór.

Zwróćmy uwagę, że wielkości wzór i wzór są stałe. Jeśli będziemy chcieli by satelita poruszał się na orbicie bardziej oddalonej od centru Ziemi to na tej orbicie musimy mu nadać mniejszą prędkość :)

Pierwsza prędkość kosmiczna

Mając gotowy wzór już nic nie stoi na przeszkodzie by wyliczyć jej wartość. Pierwszą prędkość kosmiczną wyliczmy dla ciała (satelity) które ma utrzymywać się na orbicie niedaleko od powierzchni Ziemi czyli w odległości równej średniemu promieniowi ziemskiemu. Wyliczmy ile wynosi wartość tej prędkości:

DANE: SZUKANE: WZORY:
wzór wzór wzór
wzór
wzór

ROZWIĄZANIE:

wzór
wzór
wzór
wzór

Otrzymana wartość pierwszej prędkości kosmicznej wynosi wzór. Jest to wartość przybliżona. Podczas obliczeń nie braliśmy pod uwagę oporów ruchu pojawiających się w atmosferze ziemskiej. W rzeczywistości satelitę powinniśmy umieścić ponad atmosferą w większej odległości od środka Ziemi wzór.

Koniec części III



..:: Grawitacja :: Spis treści ::..    ..:: Spis treści :: Grawitacja ::..

      »»»    Prawo powszechnego ciążenia Część I
      »»»    Skąd przyspieszenie grawitacyjne? Część II
      »»»    Czym jest I prędkość kosmiczna? Część III
      »»»    Zasada zachowania pędu Część IV
      »»»    O nieważkości Część V

Jeśli masz jakieś uwagi, pytania odnośnie tego działu skorzystaj z
forum fizyka

GÓRA         SZKOŁA         

©2007-2016 Licencja Creative Commons