..:: FIZYKA ::..

Kinematyka

Część XIII
Przyspieszenie w ruchu po okręgu

Wprowadzenie

Nasze rozmyślania o ruchu rozpoczynaliśmy od wprowadzenia najprostszych definicji. Poznaliśmy przemieszczenie, zdefiniowaliśmy prędkość i przyspieszenie, dowiedzieliśmy się czym różni się wektor od zwykłej liczby (skalara). Wszystkie rozważania oparliśmy na prostym intuicyjnym poczuciu zgodności wyprowadzonych zależności z obserwacjami. Teraz postaramy się wykorzystać naszą wiedzę do wyprowadzenia wzoru na przyspieszenie dośrodkowe (radialne) w ruchu jednostajnym po okręgu. Tak, tak. W przypadku ruchu po okręgu ze stałą wartością prędkości występuje przyspieszenie. Nie wydaje się to oczywistym? Nie szkodzi, na tym etapie wiemy wystarczająco dużo by się z tym zmierzyć.

Wyprowadzenie wzoru na wartość przyspieszenia dośrodkowego przeprowadzimy w dwóch etapach. Najpierw pokażemy, że ciało poruszające się po okręgu ze stałą szybkością faktycznie jest poddane działaniu przyspieszenia, następnie wyprowadzimy wzór.

Kierunek i zwrot przyspieszenia dośrodkowego (radialnego)

Oprzemy się na tym co wiemy, czyli:

  1. Prędkość jest wielkością wektorową wzór (posiada wartość, kierunek i zwrot).
  2. W ruchu ciała po okręgu, który odbywa się ze stałą szybkością nieustannie ulegają zmianie kierunek i zwrot prędkości (jest to ruch zmienny).
  3. Zmiana prędkości wzór w tym ruchu wskazuje, że odbywa się on z przyspieszeniem wzór.
  4. Kierunek i zwrot wektora przyspieszenia jest zawsze zgodny z kierunkiem i zwrotem wektora zmiany prędkości.

Przejdźmy zatem do analizy rysunku. Mamy na nim przedstawiony ruch ciała zarejestrowany bardzo krótkim przedziale czasu, chcemy bowiem dowiedzieć się jakiemu przyspieszeniu jest ono poddane w danej chwili ruchu. Ciało zostało zaznaczone jako punktowe w dwóch następujących po sobie momentach wzór i wzór. Następnie przymocowano do ciała wektor prędkości wzór na początku chwili i wzór na końcu chwili zgodnie z tym jak się porusza.

Przyspieszenie w ruchu po okręgu

Wszystkie nasze rozważania będą dotyczyły przedziału zawartego między chwilami wzór i wzór, powiedzmy, że środka tego przedziału (dlaczego środka jeszcze wyjaśnimy).

Jeśli chcemy się dowiedzieć czy w tym ruchu istnieje przyspieszenie musimy zobaczyć czy istnieje zmiana prędkości wzór, którą obliczamy według znanego nam przepisu:

wzór

Ponieważ mamy do czynienia z wektorami, odejmowania tego dokonamy graficznie. Przypomnijmy: w celu dokonania odejmowania dwóch wektorów wzór wektory wzór i wzór łączymy początkami a wektor wypadkowy wzór jest skierowany od końca wektora wzór do końca wektora wzór.

Przyspieszenie w ruchu po okręgu

Przeprowadzone odejmowanie wykazało, że dla rozpatrywanej chwili czasu występuje zmiana prędkości. Ponieważ odejmowanie wykonaliśmy dla środka przedziału między momentami ruchu wzór i wzór otrzymany wynik powinniśmy teraz przesunąć równolegle do tego miejsca co ilustrujemy na poniższym rysunku.

Przyspieszenie w ruchu po okręgu

Wyraźnie widzimy, że wektor zmiany prędkości jest skierowany dokładnie do środka okręgu. W takim razie również przyspieszenie jest tak samo zwrócone.

Powiedzieliśmy, że rozważania przeprowadzimy do środka przedziału między chwilami wzór i wzór. Na naszym rysunku ten przedział ma pewną długość ponieważ zależało nam na jego czytelności. Natomiast faktyczna chwila ruchu, dla której przeprowadzaliśmy wnioskowanie powinna dążyć do zera wzór a wtedy wszystko by się dokonało w obrębie punktu.

Wartość przyspieszenia dośrodkowego (radialnego)

Z analizy wektorowej udało nam się wykazać istnienie przyspieszenia radialnego. Jasne, jeśli istnieje zmiana prędkości dokonana w czasie to musi istnieć również przyspieszenie. W takim razie by wypadało znać przepis, według którego można wyliczyć jego wartość. I tym się teraz zajmiemy. Zaczynamy najprościej czyli od definicji wartości przyspieszenia:

wzór

Warto zastanowić się jak powiązać zmianę prędkości z interesującymi nas wielkościami związanymi z okręgiem czyli jego promieniem wzór oraz długością łuku wzór. Jest pewien sprytny sposób.

Przyspieszenie w ruchu po okręgu

Jeśli teraz popatrzymy na ostatni rysunek zauważymy:

  1. Trójkąty o tym samym kącie wierzchołkowym są dwa, jeden zbudowany z promieni wzór i odcinka wzór, oraz drugi zbudowany z długości prędkości wzór i wzór oraz wartości zmiany prędkości wzór.
  2. Kąt wzór jest bardzo mały ponieważ ruch opisujemy dla danej chwili na okręgu czyli, gdy wzór. Dla małego kąta możemy przyjąć, że wycinek łuku zakreślony między dwoma momentami wzór i wzór jest równy odcinkowi wzór.
  3. Ponieważ obydwa trójkąty są podobnymi, a między wartościami prędkości zachodzi równość wzór można zapisać równanie dla odpowiedniego stosunku ich boków: wzór

Przekształcając ostatnią zależność uzyskaną dla trójkątów (strony mnożymy przez wzór) otrzymujemy prosty wzór wyrażający nam wartość zmiany prędkości:

wzór

Teraz tylko wystarczy podstawić zmianę prędkości do definicji przyspieszenia i już gotowe.

Poniżej końcowe wyprowadzenie wzoru na przyspieszenie dośrodkowe (radialne) w ruchu po okręgu ze stałą szybkością liniową:

wzór
wzór
wzór
wzór

Wartość przyspieszenia dośrodkowego (radialnego) w ruchu po okręgu ze stałą szybkością liniową możemy obliczyć podnosząc wartość prędkości do kwadratu a następnie dzieląc przez długość promienia okręgu.

Indeks r przy przyspieszeniu pojawił się dla zaznaczenia, że mamy na myśli ruch radialny, po okręgu.

Koniec części XIII



..:: Kinematyka :: Spis treści ::..    ..:: Spis treści :: Kinematyka ::..

      »»»    Względność ruchu Część I
      »»»    Położenie względem układu współrzędnych Część II
      »»»    Droga a przemieszczenie Część III
      »»»    Działania na wektorach Część IV
      »»»    Szybkość w ruchu jednostajnym prostoliniowym Część V
      »»»    Prędkość średnia i chwilowa Część VI
      »»»    Przyspieszenie, jego wartość Część VII
      »»»    Przyspieszenie średnie i chwilowe Część VIII
      »»»    Wykresy ruchu Część IX
      »»»    Równania ruchu Część X
      »»»    Przyspieszenie i prędkość jako wektory Część XI
      »»»    Prędkość liniowa w ruchu po okręgu Część XII
      »»»    Przyspieszenie w ruchu po okręgu Część XIII
      »»»    Prędkość kątowa w ruchu po okręgu Część XIV

Jeśli masz jakieś uwagi, pytania odnośnie tego działu skorzystaj z
forum fizyka

GÓRA         SZKOŁA         

©2007-2016 Licencja Creative Commons