..:: FIZYKA ::..

Kinematyka

Część X
Równania ruchu

Bardzo przydatnymi podczas rozwiązywania różnych zadań i problemów okazują się tak zwane równania ruchu. Oczywiście można za każdym razem wychodzić z podstawowych definicji wprowadzonych w tym dziale. Ale…

  1. Wyprowadzenie równań ruchu pozwoli lepiej zrozumieć jaka istnieje relacja między światem fizyki a tym zaczerpniętym z matematyki.
  2. Wyprowadzenie równań opisujących ruch z prostej znajomości geometrii ukaże w jak prosty a zarazem przewrotny sposób możemy korzystać z różnych działów matematyki.
  3. Wyprowadzenie ich dosadnie ukaże zakres stosowalności, czyli w jakich sytuacjach nadają się do wykorzystania.

Zaczniemy jak zwykle od najprostszej sytuacji, wydaje się trywialnie prostej ale zasadnej, bo ukaże nam w niezamazany sposób o co chodzi.

Droga w ruchu jednostajnym prostoliniowym

Żeby wyprowadzić wzór na drogę w ruchu jednostajnym prostoliniowym wystarczy odpowiednio przekształcić definicję szybkości dla tego ruchu:

wzór

Mnożąc obie strony tego prostego równania przez czas wzór otrzymujemy poszukiwaną przez nas postać:

wzór

Spójrzmy teraz na poniższy wykres zależności prędkości od czasu w ruchu jednostajnym prostoliniowym (bo o takim na razie mówimy). Zaciemniona figura to prostokąt którego jeden bok ma wysokość wzór a drugi długość wzór.

Równania ruchu

Pole powierzchni tego prostokąta możemy wyliczyć mnożąc długość razy wysokość:

wzór

Porównując prawe strony dwóch ostatnich równań musimy jednoznacznie stwierdzić:

Na wykresie zależności prędkości od czasu wzór na wartość pola powierzchni zakreślonej figury jest równoznaczny z wzorem na drogę w tym ruchu.

wzór

gdzie wzór to przebyta droga, wzór to szybkość w ruchu jednostajnym, wzór to czas ruchu, wzór to pole powierzchni figury pod wykresem.

Droga w ruchu jednostajnie zmiennym prostoliniowym

Zanim przejdziemy do omówienia konkretnych przypadków przekształcimy do odpowiedniej postaci definicję przyspieszenia. Jej postać to:

wzór

gdzie wzór jest przyspieszeniem, wzór jest szybkością na końcu ruchu, wzór jest szybkością na początku ruchu, wzór jest czasem trwania ruchu.

Równanie to przekształcimy do takiej postaci by uzyskać wzór na szybkość końcową. W takim razie najpierw musimy pomnożyć obie strony równania przez czas w wyniku czego otrzymujemy:

wzór

Teraz wystarczy tylko przenieść szybkość początkową na lewą stronę a następnie zamienić równanie stronami.

wzór

Właśnie otrzymaliśmy pierwsze równanie ruchu!!!

Prawda, że proste :)

Co wynika z tego równania:

  1. Gdy szybkość początkowa istnieje to uzyskana podczas ruchu szybkość końcowa zależy od szybkości początkowej oraz od wartości przyspieszenia i czasu trwania ruchu (dojeżdżamy do skrzyżowania, nie zatrzymujemy się bo zielone i nabieramy przez jakiś czas ponownie prędkości).
  2. Gdy wartość prędkości początkowej jest równa zero wzór wówczas szybkość końcowa tylko zależy od wartości przyspieszenia z jakim nabywamy prędkości oraz od czasu trwania ruchu wzór (start i rozpędzanie z pozycji nieruchomej).
  3. Gdy ruch odbywa się bez przyspieszenia wzór wówczas szybkość ruchu się nie zmienia i taka sama jest na jego końcu co na początku wzór.

Przypadek jeden dziadek – gdy szybkość początkowa jest równa zero.

Jest to najprostsza sytuacja w przypadku ruchów ze stałym przyspieszeniem. Zobaczmy w takim razie co możemy wywnioskować z wykresu zależności wartości prędkości od czasu dla tej sytuacji.

Równania ruchu

Pamiętamy, że pole figury na tego typu wykresie (szybkości od czasu) możemy utożsamić z przebytą podczas ruchu drogą. Naszą figurą jest trójkąt prostokątny gdzie podstawą jest czas wzór a wysokością prędkość wzór (prędkość wzór). Zatem pole to możemy obliczyć z wzoru:

wzór

czyli również droga przebyta w tym ruchu będzie dana wzorem:

wzór

Z tego równania widzimy, że gdy poruszamy się od zera nabierając prędkości to przebyta droga zależy tylko od czasu trwania ruchu i uzyskanej po tym czasie prędkości.

Wstawmy teraz do tego równania w miejsce szybkości końcowej wzór jaki otrzymaliśmy z pierwszego równania ruchu wzór (oczywiście ten bez szybkości początkowej, ponieważ tak się poruszamy).

Po podstawieniu uzyskujemy inną postać wzoru na drogę w ruchu bez szybkości początkowej:

wzór

Z tego równania widzimy, że tą samą drogę możemy określić bez znajomości prędkości końcowej jeśli tylko znamy przyspieszenie z jakim się poruszaliśmy i czas trwania ruchu.

Przypadki dwa dziadki – gdy posiadamy prędkość na starcie.

I tym razem skorzystamy z prostego wzoru z geometrii. Jesteśmy zbyt ciency by robić to inaczej :)

Równania ruchu

Spójrzmy teraz na nasz wykres – otrzymana figura pod wykresem to trapez. Teraz w celu wyprowadzenia wzoru na drogę możemy postąpić w dwojaki sposób. Jeśli znamy wzór na pole trapezu to sprawa jest prosta. Jeśli nie znamy też dobrze :), nasza figura jest złożeniem prostokąta i trójkąta. Obliczając odpowiednio obydwa pola i je sumując mamy wzór na drogę.

Zaczynamy. Pole prostokąta: wzór; pole trójkąta: wzór; zatem pole całej figury jest ich sumą:

wzór

Po wymnożeniu wyrazów w nawiasie otrzymujemy równanie

wzór

Następnie redukując wyrazy podobne doprowadzamy do prostej postaci

wzór

gdzie po wyciągnięciu tych samych wyrazów przed nawias otrzymujemy wzór na pole trapezu (gdzie wzór i wzór to krótsza i dłuższa podstawa a wzór to wysokość) i zarazem wzór na naszą drogę.

wzór
wzór

Właśnie otrzymaliśmy drugie równanie ruchu!!!

Z tego wzoru wyraźnie widzimy, że jeśli poruszamy się ruchem z przyspieszeniem i posiadaliśmy już na początku pewną szybkość, to przebyta droga jest zależna od obydwu szybkości: tej, którą mieliśmy na początku ruchu i tej którą nabyliśmy po czasie trwania ruchu. Oczywiście przebyta droga zależy również od czasu trwania ruchu.

Zobaczmy jeszcze co uzyskamy gdy do ostatniego równania powyżej w miejsce szybkości końcowej wstawimy nasze pierwsze równanie ruchu wzór (jego postać z szybkością początkową bo taki ruch teraz omawiamy)

wzór

Po dodaniu wyrazów podobnych oraz wymnożeniu przez wartości stojące po obu stronach równania otrzymujemy ostatnie równanie na drogę:

wzór

Właśnie otrzymaliśmy trzecie równanie ruchu!!!

Z tego równania wynika, że przebyta droga podczas ruchu z jednostajnym przyspieszeniem zależy zarówno od prędkości jaką mieliśmy na początku ruchu, przyspieszenia z jakim się poruszamy oraz czasu trwania ruchu.

Podsumowanie:

Poniżej zestawiamy uzyskane trzy równania ruchu w pełnej postaci:

wzór

wzór

wzór

Te równania wystarczają do rozwiązania wielu zadań z kinematyki. Trzeba tylko wiedzieć co oznaczają poszczególne wielkości w nich użyte. Jeśli w ruchu z przyspieszeniem rozpędzamy się z pozycji spoczynkowej (czyli wzór) z wszystkich równań znika człon z wartością prędkości początkowej. Wówczas:

wzór

wzór

wzór

Koniec części X



..:: Kinematyka :: Spis treści ::..    ..:: Spis treści :: Kinematyka ::..

      »»»    Względność ruchu Część I
      »»»    Położenie względem układu współrzędnych Część II
      »»»    Droga a przemieszczenie Część III
      »»»    Działania na wektorach Część IV
      »»»    Szybkość w ruchu jednostajnym prostoliniowym Część V
      »»»    Prędkość średnia i chwilowa Część VI
      »»»    Przyspieszenie, jego wartość Część VII
      »»»    Przyspieszenie średnie i chwilowe Część VIII
      »»»    Wykresy ruchu Część IX
      »»»    Równania ruchu Część X
      »»»    Przyspieszenie i prędkość jako wektory Część XI
      »»»    Prędkość liniowa w ruchu po okręgu Część XII
      »»»    Przyspieszenie w ruchu po okręgu Część XIII
      »»»    Prędkość kątowa w ruchu po okręgu Część XIV

Jeśli masz jakieś uwagi, pytania odnośnie tego działu skorzystaj z
forum fizyka

GÓRA         SZKOŁA         

©2007-2016 Licencja Creative Commons