..:: FIZYKA ::..

Praca i energia

Część IV
Energia kinetyczna

Wprowadzenie

Energia kinetyczna wzór jest ewidentnie związana z prędkością wzór z jaką porusza się ciało oraz z jego masą wzór. Łatwo to zobrazować przedstawiając taką sytuację.

Wypełniony po brzegi samochód ciężarowy i lecący ptak poruszają się z taką samą prędkością. Zderzają się z przeszkodami na swojej drodze. Skutki którego zderzenia będą powalające a którego niezauważalne. Gdzie siły niszczycielskie wykonają większą pracę.

To samo rozumowanie możemy przeprowadzić dla różnych prędkości poruszających się pojazdów o tej samej masie.

Analiza sytuacji wyjściowej poprzedzającej wyprowadzenie

W tym temacie postaramy się wyprowadzić wzór, według którego będziemy mogli obliczyć energię kinetyczną wzór ciała. Oczywiście podobnie jak w przypadku wyprowadzenia wzoru na energię potencjalną wzór, również tutaj posłużymy się zależnością jaka istnieje między pracą wzór a zmianą całkowitej energii mechanicznej wzór czyli:

wzór

gdzie wzór jest zmianą energii kinetycznej; a wzór jest zmianą energii potencjalnej.

Przyjrzyjmy się sytuacji przedstawionej na rysunku poniżej.

Energia kinetyczna

Widzimy, że samochód porusza się po linii prostej. Nie wznosi się ani nie opada, czyli jego energia potencjalna nie ulega zmianie; jej zmiana jest równa zeru wzór. Widzimy również, że na samochód działa siła wypadkowa wzór (utworzona już ze wszystkich działających sił). Ma ona kierunek i zwrot zgodny z kierunkiem i zwrotem przemieszczenia wzór. Dzięki tej sile samochód porusza się ze stałym przyspieszeniem wzór zwiększając prędkość samochodu od wartości wzór do wartości wzór. Wszystko to dzieje się oczywiście w określonym czasie wzór na drodze będącej długością przemieszczenia wzór. Jeśli prędkość samochodu wzrasta znaczy, że wzrasta jego energia kinetyczna wzór. Przejdźmy zatem do jej wyprowadzenia.

Wyprowadzenie wzoru na energię kinetyczną

Jeśli energia potencjalna nie zmienia się (droga się nie wznosi i nie opada) cała praca wykonana przez siłę wypadkową zostaje przekształcona w zmianę energii kinetycznej wzór.

wzór

czyli

wzór

Ponieważ siła działa wzdłuż kierunku przemieszczenia (możemy zrezygnować z zapisu wektorowego) definicja pracy przyjmuje najprostszą postać:

wzór

Teraz dokonamy szeregu podstawień i przekształceń tak by ostatni powyżej wzór na pracę wzór móc wyrazić poprzez prędkości początkową wzór i końcową wzór samochodu oraz jego masę wzór.

Zgodnie z II zasadą dynamiki Newtona wiemy, że ciało o masie wzór poddane działaniu siły wypadkowej wzór będzie przyspieszać, co możemy zapisać tak: wzór.

Teraz ostatni wzór możemy podstawić w odpowiednie miejsce do tego na pracę i otrzymamy:

wzór

We wzorze tym mamy po prawej stronie iloczyn trzech wielkości przyspieszenia wzór; masy wzór oraz wartości dokonanego podczas ruchu przemieszczenia wzór. Zobaczmy co uzyskamy jeśli skorzystamy z równania na drogę dla ruchu z jednostajnym przyspieszeniem. Przypomnijmy, że równanie to ma postać: wzór. Po odpowiednim podstawieniu wzór na pracę zaczyna straszyć :)

wzór

To jeszcze nie koniec. Ponieważ chcemy wyrazić pracę a zarazem zmianę energii kinetycznej poprzez masę i prędkości będziemy musieli w odpowiednie miejsca w ostatnim równaniu podstawić definicję wartości przyspieszenia: wzór. Po podstawieniu wzór na pracę staje się prawdziwym monstrum :)

wzór

Teraz go trochę uporządkujemy. Najpierw likwidujemy ułamek piętrowy przez skrócenie wzór z wzór w ostatnim wyrazie:

wzór

Następnie sprowadzamy wyrazy w dużym nawiasie do wspólnego mianownika a mały nawias wymnażamy przez wzór:

wzór

Dodajemy do siebie dwa ułamki w dużym nawiasie:

wzór

Wyciągamy wzór przed mały nawias:

wzór

Ponieważ między poszczególnymi wyrazami i nawiasami mamy działania mnożenia i dzielenia możemy skrócić czas wzór zmienić kolejność wyrazów i zapisać wszystko w postaci jednego ułamka:

wzór

Teraz wymnażamy wszystkie wyrazy w nawiasach:

wzór

Następnie redukujemy wyrazy podobne:

wzór

Prędkości wzór i wzór w nawiasach wymnażamy przez masę wzór i zapisujemy wynik w postaci rozdzielonych ułamków:

wzór

Wszystkie dokonane przekształcenia wykonaliśmy dlatego, by uzyskać wzór na pracę wzór wyrażony przy pomocy prędkości końcowej wzór i początkowej wzór oraz masy naszego samochodu.

Wróćmy teraz do naszego problemu. Siła wypadkowa wykonała pracę wzór równoważną zmianie energii kinetycznej wzór co zapisaliśmy w postaci równania dodatkowo rozwiniętego tu o ostatni wyraz:

wzór

Jeśli ze względu na równość lewych stron porównamy teraz dwa ostatnie równania prawymi stronami uzyskamy wyrażenie:

wzór

Wyraźnie widzimy, gdy samochód znajdował się na początku ruchu miał energię kinetyczną daną wzorem wzór a po przebyciu drogi wzór wraz z prędkością jego energia kinetyczna wzrosła do wartości którą możemy obliczyć ze wzoru. wzór

Wynika stąd, że ogólny wzór na energię kinetyczną dla ciała o masie wzór poruszającego się z prędkością wzór możemy zapisać w postaci:

wzór

Koniec części IV



..:: Praca i energia :: Spis treści ::..    ..:: Spis treści :: Praca i energia ::..

      »»»    Definicja pracy w fizyce Część I
      »»»    Praca a energia Część II
      »»»    Energia potencjalna w polu grawitacyjnym Część III
      »»»    Energia kinetyczna Część IV
      »»»    Zasada zachowania energii Część V

Jeśli masz jakieś uwagi, pytania odnośnie tego działu skorzystaj z
forum fizyka

GÓRA         SZKOŁA         

©2007-2016 Licencja Creative Commons