Algebra

Algebra to jeden z najstarszych działów matematyki, który powstał w zamierzchłej starożytności, i którego zakres zmieniał sie w ciagu wieków. Początkowo algebra zajmowała sie rozwiązywaniem równan. Dziś algebra zajmuje sie tak zwanymi strukturami algebraicznymi (zbiorami z określonymi w nich działaniami). Algebra wykładana w liceum zajmuje sie takimi działaniami jak dodawanie i mnożenie; wprowadza pojecie zmiennej i wielomianu oraz jego pierwiastków. Jednakże dzisiejsza algebra jest działem o wiele bardziej ogólnym. Wykład współczesnej algebry obejmuje definicje działania, struktury algebraicznej, grupy, pierścienia, ciała. Są to groźnie i obco brzmiące terminy, jednakże od samego początku nieświadomie używamy, chociażby w przypadku trywialnego mnożenia czy dodawania liczb. Ale nie tylko liczb. Przecież "dodawaliśmy" i "odejmowaliśmy" również zbiory, stosując zamiast znaku + i · znak sumy (∪) i iloczynu (∩)

W szkole średniej w nauce pomijane bywają fundamenty, a nacisk kładziony jest na ornamenty. A jednym z takich fundamentcw są właśnie podstawy algebry. Ktoś zapyta - po co uzupełniać i tak przeładowany program o dodatkowe wiadomości. Ano po to, że zrozumienie podstawowych pojęć, ktąre obecne są w każdym dziale matematyki otworzy nam oczy na to czym naprawde jest matematyka. Zatem pozwole sobie na wykroczenie poza program i wprowadzenie kilku definicji. Aby nie wywołać przerażenia ich zimną ogclnością, pod każdą definicją podam kilka przykładów z "życia" wziętych.

Podsumowując: algebra jest nauką o działaniach. Ale zatem czym jest działanie?

Działanie

Działaniem dwuargumentowym określonym w niepustym zbiorze A nazywamy każdą funkcje f:A x A → A. Przyjmujemy oznaczenie: f(a, b) = ab. Niepusty zbiór A z określonym działaniem nazywamy strukturą algebraiczną i oznaczamy (A, ). Dobrze znamy takie działania jak dodawanie, odejmowanie mnożenie, dzielenie i często słowo "działanie" jest synonimem jednego z nich. Tymczasem jest to tylko kropla w morzu działan i to w dodatku działan na liczbach. A przecież nikt nic nie powiedział na temat natury zbioru A. Wszak jego elementy mogą bya zupełnie dowolne. Mało tego, możemy sie umówić, że wynikiem pewnego działania na dwóch elementach będzie dowolny inny element ze zbioru A, niekoniecznie zadany jakimś wzorem. W związku z tym, nawet na małym zbiorze możemy określia wiele działan. Na przykład na zbiorze 3-elementowym możemy określić aż 18 działan!

Oczywiście nie wszystkie działałania są przemienne. Najprostszym przykładem działania nieprzemiennego jest odejmowanie. Inne to na przykład składanie funkcji (na ogół jest nieprzemienne).

Wyrażenie algebraiczne

Wyrażenie algebraiczne to wyrażenie matematyczne, złożone z jednego lub wiekszej liczby symboli algebraicznych (tzn. stałych lub zmiennych), połączonych znakami działan i ewentualnie nawiasów, ustalających kolejność działań.

U podstaw algebry leżą tak zwane struktury algebraiczne. Są one po prostu zbiorami, w których określono pewne działanie (lub działania). Najważniejsze struktury algebraiczne to grupa, pierścien i ciało:

Grupa

Strukturę algebraiczną (A, ) nazywamy grupą jeśli jednocześnie zachodzą warunki 1, 2, 3:
1. a, b, c A mamy (ab)c = a(bc) (łączność działania)
2. e A, taki, że a A mamy ea = ea (istnienie elementu neutralnego e)
ł. a A, a' A, taki, że aa' = a'a = e (istnienie elementu odwrotnego a')

jeżeli ponadto zachodzi:
4. a, b A, ab = ba (przemienność działania)

to grupę (A, ) nazywamy grupą przemienną (abelową).

Ufff, wygląda to rzeczywiście potwornie. Ale jeden rzut oka wystarczy by przekonaa sie, ze z grupą mieliśmy już do czynienia. Weżmy takie liczby całkowite i działanie zwane dodawaniem. Czy tak określona struktura algebraiczna jest grupą? Ano jest! I to abelową, czyli przemienną! Zachodzi wszak łączność i przemienność dodawania, istnieje element neutralny (0), a także każda liczba całkowita x ma element odwrotny (-x). Przykłady grup nie ograniczają sie oczywiście tylko do zbiorcw liczbowych. Role elementcw mogą oczywiście pełnia liczby, ale rcwnież wielomiany, wektory, obroty itp. Tak wiec jest to bardzo ogólna definicja, obejmująca bardzo różne twory. Dociekliwy czytelnik zastanowi sie jak wyglądałaby na przykład grupa wszystkich obrotów własnych kwadratu na płaszczyźnie (własnych czyli takich, które przekształcają kwadrat na siebie) albo grupa obrotów własnych sześciokąta foremnego.

Przykłady grup

Zbiór liczb całkowitych z działaniem dodawania.

Zbiór { - 1,1} z działaniem mnożenia. Nota bene najprostszym przykładem grupy jest zbiór {0} z dodawaniem lub {1} z mnożeniem.

Zbiór wektorów na płaszczyźnie euklidesowej (takiej zwykłej, poczciwej i dobrze znanej) z działaniem dodawania wektorów.

Zbiór izometrii płaszczyzny z działaniem składania przekształceń.

Zbiór wszystkich permutacji {1, 2, ... n} z działaniem polegającym na składaniu permutacji.

Pierścień

Jeśli w niepustym zbiorze A są określone dwa działania oraz , ponadto (A, ) jest grupą przemienną i zachodzi:
5. a, b, c A mamy (ab);c = a(bc) (łączność działania )
6. a, b, c A mamy (ab)c = (ac)(bc) (rozdzielność działania wzgledem )
to strukturę (A, ) nazywamy pierścieniem.

Przykłady pierścieni

Najważniejszym przykładem pierścienia jest pierścien liczb całkowitych wraz z naturalnymi działaniami dodawania i mnożenia.

Innym przykładem pierścienia (którego elementami nie są liczby), jest pierścien wielomianów.

Kto zgłębi bardziej podstawy matematyki z pewnością napotka na swej drodze pierścień macierzy.

Ciało

Ciałem nazywamy pierścień (A, ), w którym zachodzi ponadto:
7. e A, taki, że a A mamy ea = ea (istnienie elementu neutralnego działania )
8. a A, a' A, taki, że aa' = a'a = e (istnienie elementu odwrotnego a')
9. a, b A, ab = ba (przemienność działania )

Najważniejszym przykładami ciał są ciało liczb wymiernych i ciało liczb rzeczywistych wraz z naturalnymi działaniami dodawania i mnożenia. Ciałem jest również zbiór wszystkich liczb postaci a + b√2, gdzie a i b są liczbami wymiernymi. Przykładem ciała (ktcrego elementami nie są liczby), jest ciało funkcji wymiernych. Również zbicr liczb zespolonych tworzy ciało (zawierające w sobie ciało liczb rzeczywistych).

GÓRA         SZKOŁA         

©2007-2016 Łukasz Ługowski, Młodzieżowy Ośrodek Socjoterapii nr 2 „KĄT”. Wykonanie:
Licencja Creative Commons - zdjęcia, rysunki i obrazy należą do uczniów i pracowników MOSu „KĄT”; kilka przyjaciół i znajomych

Podziękowania: Uczniowie, nauczyciele & „KĄTowi” przyjaciele!