Funkcja wymierna

Jeśli za uogólnienie liczb całkowitych przyjmiemy wielomiany, to uogólnieniem liczb wymiernych będą funkcje wymierne. Skoro liczba wymierna to iloraz dwóch liczb całkowitych, z których ta druga (dzielnik) musi być różna od zera, to analogicznie funkcja wymierna będzie ilorazem dwóch wielomanów, z których ten drugi (dzielnik) musi być różny od wielomianu zerowego.

Zatem przyjmujemy, że f(x) jest funkcją wymierną jeśli:

Funkcja wymierna

gdzie P(x) i Q(x) są wielomianami i Q(x) ≠ 0

Oczywiście fakt, że Q(x) nie może być wielomianem zerowymm nie wyczerpuje wszystkich "zakazów". Funkcja wymierna jest nieokreślona wszędzie tam, gdzie wielomian Q(x) ma miejsca zerowe. Każdy wielomian P(x) jest funkcją wymierną, ponieważ można go przedstawić w postaci P(x)/1.

Ułamki proste

Funkcje wymierne postaci A/(x - a)k lub(Ax + B)/(x2 + px +q)k gdzie A, B, C, a, p, q ∈ R nazywamy ułamkami prostymi.

Każdą funkcję wymierną można przedstawić jako sumę wielomianu i pewnej liczby ułamków prostych.

Funkcję wymierną postaci (ax + b)/(cx + d), gdzie ad ≠ bc nazywamy funkcją homograficzną. Najprostszym przypadkiem funkcji homograficznej jest funkcja f(x) = 1/x, czyli mówiąc literacko funkcja, która każdej liczbie przyporządkowuje różnej od zera przyporządkowuje jej odwrotność. Funkcję w tej postaci nazywa się również proporcjonalnością odwrotną. Wykresem funkcji homograficznej jest hiperbola. Wzór każdej funkcji homograficznej (ax + b)/(cx + d), można sprowadzić do postaci f(x) = k/(x - p) + q. Jest to postać kanoniczna funkcji homograficznej. Oczywiście można wykazać, że k = (bc - ad)/c2, p = -d/c, q = a/c.

Wykresem funkcji homograficznej jest krzywa zwana hiperbolą. Hiperbola jest krzywą o 2 asymptotach, w poniższym przypadku są nimi po prostu osie układu współrzędnych.

Funkcja homograficzna

Z pojęciem funkcji wymiernej wiąże się pojęcie równania wymiernego. Otóż równanie wymierne to nic innego jak równanie, w którym po jednej stronie występuje funkcja wymierna, a po drugiej 0. Rozwiązywanie równania wymiernego sprowadza się zatem do szukania miejsc zerowych funkcji wymiernej. Idąc jeszcze dalej widać, że funkcja wymierna może mieć miejsca zerowe tylko tam gdzie miejsca zerowe ma licznik (dlaczego?). Zatem rozwiązywanie równań wymiernych to nic innego jak poszukiwanie miejsc zerowych wielomianu (co nie zawsze jest łatwe).

Ktoś zapyta a po co to komu? Pamiętacie mrożące krew w żyłach zadanie?

Gdyby trzej robotnicy kopali rów melioracyjny samodzielnie, wówczas pierwszy z nich wykonałby tę pracę w czasie 6 dni dłuższym, drugi o 30 dni dłuższym, a trzeci w czasie 3 razy dłuższym, niż gdyby wszyscy pracowali razem. W ciągu jakiego czasu ci trzej robotnicy wykopaliby rów melioracyjny wspólnymi siłami?

Otóż za pomocą funkcji wymiernej rozwiązuje się to w 5 minut. Wystarczy obrać

x - ilość dni potrzebnych do wykopania rowu we trzech,
x+6 - tyle dni zajęłoby kopanie rowu przez pierwszego robotnika
x+30 - tyle dni zajęłoby kopanie rowu przez drugiego robotnika
3x - tyle dni zajęłoby kopanie rowu przez trzeciego robotnika

... i myk mamy równanie wymierne:

1/(x + 6) + 1/(x + 30) + 1/3x = 1/x

Dlaczego jest to równanie wymierne, dlaczego ma taką postać i wreszcie jak je rozwiązać, pozostawiam dociekliwym czytelnikom...

A oto przykład wykresu funkcji wymiernej f(x) = [ -4x2 - 6 ] / [(x - 3)(x + 3)] .

Funkcja wymierna

... g(x) = [2(x - 5)(x - 2) ] / [(x - 5)(x + 1)]

Funkcja wymierna

... h(x) = (x + 4) + 18 / (x - 5) = (x2 - x - 2) / (x - 5)

Funkcja wymierna

Dlaczego wykres funkcji wymiernej posiada asymptoty? Te pionowe to po prostu miejsca, w których funkcja jest nieokreślona. Ale kiedy są one poziome albo i nawet ukośne? Otóż gdy licznik i mianownik funkcji wymiernej są wielomianami o równych stopniach, gdy x dąży do nieskończoności (lub minus nieskończoności) funkcja zaczyna coraz bardziej "przypominać" funkcję stałą (oczywiście nigdy się nią nie stając - tylko dążąc do niej asymptotycznie). Tak właśnie jest w dwóch pierwszych przykładach. W trzecim natomiast, gdy x dąży do nieskończoności (lub minus nieskończoności) funkcja zaczyna coraz bardziej "przypominać" funkcję liniową, co znajduje odzwierciedlenie w asymptotycznym zbliżaniu się wykresu do prostej ukośnej, będącej przecież wykresem pewnej funkcji liniowej. Co będzie się działo z asymptotami gdy różnica stopni wielomianów będzie większa niż 1, a to już polecam sprawdzić samemu...

 

GÓRA         SZKOŁA         

©2007-2016 Łukasz Ługowski, Młodzieżowy Ośrodek Socjoterapii nr 2 „KĄT”. Wykonanie:
Licencja Creative Commons - zdjęcia, rysunki i obrazy należą do uczniów i pracowników MOSu „KĄT”; kilka przyjaciół i znajomych

Podziękowania: Uczniowie, nauczyciele & „KĄTowi” przyjaciele!