Liczby zespolone

Mam nadzieję, że wszyscy są już za pan brat z równaniami kwadratowymi. Skoro tak, to wiemy, że równania te nie zawsze posiadają rozwiązanie (kiedy nie?). Ale nawet nie odwołując się do teorii równań kwadratowych widać, że równanie x2 + 1 = 0, nie posiada rozwiązań. Jeśli byłoby rozwiązanie, musiałaby być nim liczba, której kwadrat byłby równy -1. Ale przecież kwadrat każdej liczby rzeczywistej jest dodatni. By powyższe (i inne) równanie miało rozwiązanie, stworzono całkiem nowe liczby, liczby których kwadrat jest liczbą ujemną. To tak zwane liczby urojone - liczby których kwadrat jest ujemny! Podobnie jak w przypadku liczb rzeczywistych jednostką jest liczba 1, tak w przypadku liczb urojonych jednostką stał się pierwiastek z liczby -1. Oznaczamy go literą i. Zbiór liczb zespolonych określamy jako zbiór wszystkich liczb postaci a + bi, gdzie a i b są liczbami rzeczywistymi i oznaczamy C (z ang. complex - zespolony), zaś pojedynczą liczbę zespolonąoznaczamy z.

Postać kanoniczna liczby zespolonej

Postać liczby zespolonej:

Postać kanoniczna liczby zespolonej

nazywamy postacią kanoniczną (algebraiczną) liczby zespolonej.

W zbiorze tym określono odpowiednie działania. W zapisie z = a = bi liczbę a nazywamy częścią rzeczywistą, natomiast liczbę b
częścią urojoną liczby zespolonej z. Własność tę zapisujemy Re z = a oraz Im z = b.

W 1748 roku szwajcarski matematyk Leonard Euler wprowadził liczby zespolone do analizy w swym fundamentalnym dziele "Introductio in analysin infinitorum". Francuski matematyk Abraham De Moivre wsławił się między innymi wyprowadzeniem wzoru na n-tą potęgę liczby zespolonej zapisanej w postaci trygonometrycznej.Warto wymienić również polskiego matematyka Franciszka Leję, autora podręczników z klasycznej teorii funkcji zmiennej zespolonej.

Leonard Euler Abraham De Moivre Franciszek Leja
Leonard Euler Abraham De Moivre Franciszek Leja
Uczeni, którzy wnieśli wkład w rozwój teorii liczb zespolonych

Liczba urojona brzmi mistycznie lecz w istocie rzeczy, taka liczba jest równie nierzeczywista jak liczba rzeczywista. Bowiem w matematyce rzeczywistość i mistycyzm egzystują na równych prawach. Liczby zespolone są codziennym narzędziem nie tylko matematyka czy fizyka teoretyka, lecz również inżyniera, gdyż mają szerokie zastosowania w elektrotechnice, aerodynamice i innych dyscyplinach.

Podobnie jak w przypadku liczb rzeczywistych liczby zespolonych możemy dodawać, mnożyć i dzielić. Omówimy pokrótce te działania.

Działania na liczbach zespolonych

Dodawanie

Niech z1 = a + bi i z2 = c + di. Wówczas z1 + z2 = a + bi + c + di, co po uporządkowaniu wyrazów daje z1 + z2 = (a + c) + (b + d)i. Mówiąc językiem prozaików, sumujemy po prostu części rzeczywiste i części urojone. W dalszej części, gdy poznamy interpretację geometryczną liczby zespolonej, prostota operacji na tych liczbach zaprze nam dech w piersiach.

Mnożenie

Niech znów z1 = a + bi i z2 = c + di. Wówczas z1 · z2 = (a + bi) · (c + di). Teraz, wymnażając każdy wyraz z każdym i pamiętając, że i2 = -1 i na końcu porządkując, otrzymujemy: z1 · z2 = (ac - bd) + (ad + bc)i. Widać, że mnożenie nie jest już tak proste jak dodawanie.

Dzielenie

Aby podzielić przez siebie dwie liczby zespolone z1 i z2 przy czym (z2≠0) należy znależć odwrotność liczby z2. Otóż mając dane z = a + bi, należy znaleźć liczbę 1/(a + bi). Aby "ucywilizować" trochę tę liczbę pomnóżmy licznik i mianownik ułamka przez (a - bi). I co otrzymujemy? Ano otrzymujemy, że odwrotność z, czyli z-1 = (a - bi)/(a2 + b2). Mając odwrotność z mamy sposób dzielenia! (Jakby ktoś się jeszcze nie domyślił to dzielenie jest mnożeniem przez odwrotność).

Moduł liczby zespolonej

Podam teraz suchą jak wiór definicję modułu liczby zespolonej, która nabierze rumieńców jak poznamy interpretację geometryczną. Otóż, przyjmując z = a + bi, moduł liczby zespolonej:

Moduł  liczby zespolonej

Uwaga! Liczby rzeczywiste to szczególne liczby zespolone, takie, których część urojona b jest zerem. Jeśli chodzi o liczby zespolone, których część rzeczywista a wynosi zero, są to liczby urojone. Kwadrat czystej liczby urojonej jest ujemny!

Liczby sprzężone

Liczbą sprzężoną do liczby z nazywamy liczbę z sprzężone. Zatem liczby sprzężone to takie liczby zespolone, które mają przeciwne części urojone.

Interpretacja geometryczna liczby zespolonej

Weźmy zwykłą płaszczyznę i obierzmy na niej układ współrzędnych prostokątnych. Oś poziomą nazwijmy osią rzeczywistą (współrzędna a reprezentuje część rzeczywistą liczby z), a oś pionową nazwijmy osią urojoną (współrzędna b reprezentuje część urojoną liczby z). Liczbę zespoloną z = a + bi interpretujemy na płaszczyźnie jako punkt z o współrzędznych (a, b). Genialne! Jak za dotknięciem czarodziejskiej różdżki dociera do nas fakt, że moduł liczby zespolonej to nic innego jak długość wektora poprowadzonego od początku układu współrzędnych (0, 0) do punktu z! Moduł liczby z to nic innego jak odległość punktu z od początku układu współrzędnych (0, 0)!

Płaszczyzna zespolona

Argument liczby zespolonej. Jeśli dokładnie przeanalizujemy rysunek, dojrzymy na nim kąt φ jaki tworzy wektor poprowadzony od początku układu współrzędnych (0, 0) do punktu z, z osią rzeczywistą. Kąt ten nazywamy argumentem liczby zespolonej z. Argument liczby zespolonej z oznacza się Arg z.
Argumentem liczby zespolonej z = a + bi ≠ 0 nazywamy każdą liczbę rzeczywistą spełniającą dwa warunki:

Argument liczby z

Dociekliwy obserwator zapyta chytrze: a co jeśli kąt (argument) będzie większy od (360O)? Przecież wodząc wektorem dookoła, możemy wykonać wiele obrotów i kąt może być dowolnie duży. Dlatego wprowadzono argument główny liczby zespolonej, który mieści się w przedziale (0, 2Π) czyli od 0Odo 360O.

Postać trygonometryczna liczby zespolonej

Wykorzystując do określenia położenia punktu z o współrzędnych (a, b) moduł i argument z, otrzymamy tzw. postać trygonometryczną liczby zespolonej:

Postać kanoniczna liczby zespolonej

Postać wykładnicza liczby zespolonej

Liczbę zespoloną z = a+bi możemy przedstawić w postaci wykładniczej

Postać wykładnicza liczby zespolonej

Wzór de Moivre'a

Wzór de Moivre'a jest wzorem na n-tą potęgę liczby zespolonej zapisanej w postaci trygonometrycznej. Otóż jeśli:

Postać trygonometryczna liczby zespolonej

to:

Wzór de Moivre'a

 

Czyż to nie genialne? Przypuśćmy, że chcemy policzyć (i + 1)100. Wymnożenie 100 razy przez siebie wyrażenia 1 + i prowadzi do celu, ale trwa wieki, a poza tym łatwo się pomylić. Jak zatem radzi sobie z tym wzór de Moivre'a? Najpierw liczymy moduł z. Wychodzi moduł z = pierwiastek z 2. Nietrudno stwierdzić, (choćby z rysunku), że argument z wynosi PI/4. Teraz wystarczy podnieść do potęgi 100 pierwiastek z 2 i pomnożyć PI/4 przez 100. Czyli:

(1+i) do 100

Pierwiastkowanie liczb zespolonych

Pierwiastkiem n-tego stopnia z liczby zespolonej z nazywamy każdą liczbę zespoloną, która podniesiona do n-tej potęgi daje liczbę z. Obiecuję, że będzie to już ostatni "wzór"... brr.. jak jak nie lubię tego określenia. Ale jak wszystko w matematyce daje się on łatwo wyprowadzić. Załóżmy, że liczba zespolona z zapisana jest w postaci trygonometrycznej:

Postać trygonometryczna liczby zespolonej

chcemy znaleźć taką liczbę zespoloną w, zapisaną w postaci trygonometrycznej:

Postać trygonometryczna liczby zespolonej

że wn = z

Obliczając wn ze wzoru de Moivre'a, a następnie porównując moduły i argumenty po obu stronach równości wn=z dostajemy:

Moduł w do n i n beta =

Dodanie składnika 2kΠ wynika z niejednoznaczności argumentu (może się on różnić o wielokrotność ). Zatem:

Postać trygonometryczna liczby zespolonej

Wynika stąd, że pierwiastek n-tego stopnia z liczby zespolonej z istnieje, ale nie jest wyznaczony jednoznacznie. Innymi słowy istnieje wiele pierwiastków. Wszystkie pierwiastki dostaniemy biorąc k = 0, 1, 2, ... (n-1).

Wśród argumentów:

Postać trygonometryczna liczby zespolonej

istnieje dokładnie n takich, których różnice nie są wielokrotnościami liczby . Są to np. liczby k = 0, 1, ... , (n-1). Zatem istnieje zawsze dokładnie n różnych pierwiastków stopnia n z liczby zespolonej z różnej od zera. Dane są one wzorami:

Pierwiastek n-tego stopnia z liczby zespolonej

GÓRA         SZKOŁA         

©2007-2016 Łukasz Ługowski, Młodzieżowy Ośrodek Socjoterapii nr 2 „KĄT”. Wykonanie:
Licencja Creative Commons - zdjęcia, rysunki i obrazy należą do uczniów i pracowników MOSu „KĄT”; kilka przyjaciół i znajomych

Podziękowania: Uczniowie, nauczyciele & „KĄTowi” przyjaciele!