Funkcja liniowa

Funkcję f określoną wzorem f(x) = ax + b dla a, b, x należących do zbioru liczb rzeczywistych, nazywamy funkcją liniową. Liczbę a nazywamy współczynnikiem kierunkowym, b - wyrazem wolnym. Wykresem funkcji liniowej jest prosta.

Nietrudno zauważyć, że funkcja liniowa jest rosnąca gdy prosta będąca jej wykresem patrząc w prawo "wznosi się" a malejąca gdy "opada". W przypadku gdy prosta biegnie poziomo, funkcja jest stała. Pozostaje jeszcze zauważyć, że czym większa wartość bezwzględna współczynnika kierunkowego a tym prosta tworzy większy kąt z osią OX (jest bardziej stroma). Z kolei gdy wartość bezwzględna a zbliża się do zera, prosta będąca wykresem funkcji liniowej staje się coraz bardziej pozioma.

Dziedzina i przeciwdziedzina funkcji liniowej

Dziedziną funkcji liniowej jest zbiór liczb rzeczywistych. Przeciwdziedziną również zbiór liczb rzeczywistych lub zbiór jednoelementowy (zawierający tylko jedną liczbę). Kiedy?

Monotoniczność funkcji liniowej

Za monotoniczność funkcji liniowej odpowiada współczynnik kierunkowy prostej. Gdy a > 0 wówczas funkcja jest rosnąca, gdy a < 0 funkcja jest malejąca. Dla a = 0 funkcja oczywiście jest stała. Z wyjątkiem funkcji stałej funkcja liniowa jest różnowartościowa.

Miejsce zerowe funkcji liniowej

"Przyzwoita" funkcja liniowa posiada jedno miejsce zerowe. Jest to odcięta punktu, w którym wykres funkcji przecina oś OX (odciętych) w układzie współrzędnych. Jeśli by posiadała 2 musiałaby posiadać ich nieskończenie wiele (czemu?). Wyjątkiem jest funkcja stała, która nie posiada miejsca zerowego lub też same miejsca zerowe (kiedy?).

Kąt pomiędzy wykresem funkcji liniowej a osią x

Kąt pod jakim "biegnie" prosta będąca wykresem funkcji liniowej zależy od współczynnika kierunkowego a. Czym większa wartość bezwzględna a, tym prosta wznosi się bardziej pionowo, gdy wartość bezwzględna a dąży do zera, prosta coraz bardziej się "kładzie". Dlaczego użyłem tu znanego i lubianego określenia "wartość bezwzględna"?.

Każda prosta oprócz prostej prostopadłej do osi OX jest wykresem pewnej funkcji liniowej. Sposób wyznaczania współczynników a i b pokazuje poniższy rysunek:

Sposób wyznaczania współczynników

Sposób wyznaczania współczynników a i b

Cóż więcej możemy powiedzieć o poczciwej funkcji liniowej? Po pierwsze, że jest ciągła. O ciągłości wspominałem przy omawianiu funkcji jako takich. Ale akurat to jest trywialne, gdyż każdy wie, że prosta jest linią ciągłą. Po drugie do sporządzenia wykresu funkcji liniowej potrzebne są tylko dwa punkty. Jeden z nich mamy podany prawie na tacy, jak wyznaczyć drugi pokazuje rysunek. Możemy zetknąć się z odwrotnym problemem: Znaleźć wzór funkcji liniowej przechodzącej przez punkty A(xA, yA) i B(xB, yB). Wówczas do wzoru ogólnego f(x) = ax + b należy podstawić współrzędne punktu A, następnie punktu B i rozwiązać układ równań z dwoma niewiadomymi. Oczywiście w przypadku gdy oba punkty leżą na prostej prostopadłej do osi OX rozwiązania nie znajdziemy.

Jakie zjawiska możemy opisać funkcją liniową? Droga przebyta przez samochód jadący ze stałą prędkością jest liniową funkcją czasu. Zależność tę można przedstawić wzorem:

S(t) = vt + x0, gdzie v - prędkość, x0 - początkowy odcinek drogi, t - czas

Podobnie, objętość wody znajdującej się w zbiorniku w danej chwili jest funkcja liniową czasu, jeśli tylko uznamy, że kran doprowadzający wodę pracuje ze stałą wydajnością. Wówczas:

V(t) = wt + v0, gdzie w - wydajność kranu, v0 - objętość początkowa, t - czas

Masę, naprawdę masę zjawisk opisuje funkcja liniowa.

Przykładowe zadania

1. Sprawdź czy poniższe funkcje liniowe są rosnące czy malejące:
y = 3x - 1
y = -2x + 1
y = √2x + √3

2. Wyznacz punkty przecięcia następujących funkcji z osiami układu współrzędnych:
y = 2x - 1
y = -5x - 5
y = 100x + 3

3. Napisz wzór funkcji przechodzącej przez punkty A i B:
1. A=(3,-3), B=(-2,1)
2. A=(0,0), B=(5,1/2)
3. A=(2,4), B=(-1,5)

4. Określ dla jakich argumentów podane funkcje przyjmują wartości dodatnie a dla jakich ujemne:
y = 2x - 5
y = -3(x-1) + 2
y = 6x - 7

5. Mamy dane następujące funkcje liniowe:
y = 6x - 1
y = -x + 2
y = √2x + 1
- sporządź wykres danej funkcji
- wyznacz dziedzinę i zbiór wartości funkcji
- określ czy funkcja jest rosnąca czy malejąca
- wyznacz punkty przecięcia z osiami układu współrzędnych
- określ dla jakich argumentów funkcja przyjmuje wartości dodatnie a dla jakich ujemne.

GÓRA         SZKOŁA         

©2007-2016 Łukasz Ługowski, Młodzieżowy Ośrodek Socjoterapii nr 2 „KĄT”. Wykonanie:
Licencja Creative Commons - zdjęcia, rysunki i obrazy należą do uczniów i pracowników MOSu „KĄT”; kilka przyjaciół i znajomych

Podziękowania: Uczniowie, nauczyciele & „KĄTowi” przyjaciele!