Planimetria

Planimetria to dział geometrii, w którym przedmiotem badań są własności figur geometrycznych leżących na płaszczyźnie. Płaszczyzna jak wiemy jest powierzchnią nieograniczoną, zawiera nieskończenie wiele punktów i rozdziela przestrzeń na dwie przystające części. Pojęcie płaszczyzny wpajane jest nam od dziecka poprzez analogię do powierzchni stołu, czy kartki papieru tylko rozciągających się w nieskończoność. Skoro matką wszystkich figur płaskich jest płaszczyzna wypadałoby i o niej parę słów powiedzieć. Każda płaszczyzna ma następującą własność: przez trzy punkty, nie leżące na jednej prostej, zawsze daje się poprowadzić tylko jedną płaszczyznę. Mówiąc inaczej płaszczyznę wyznaczają 3 punkty, podobnie jak prostą 2. Grecki matematyk Euklides w Elementach sformułował pięć aksjomatów, które są uważane obecnie za aksjomaty planimetrii.

Pięć aksjomatów Euklidesa

  1. Przez każde dwa różne punkty można poprowadzić tylko jedną prostą
  2. Każdy odcinek może być przedłużony do nieskończoności, tworząc prostą
  3. Odległość i punkt wyznaczają okrąg
  4. Wszystkie kąty proste są równe
  5. Dwie proste, które przecinają trzecią w taki sposób, że suma kątów wewnętrznych po jednej stronie jest mniejsza od dwu kątów prostych, przetną się z tej właśnie strony, jeśli się je odpowiednio przedłuży

Piąty aksjomat Euklidesa nie zależy od pierwszych czterech i, zastępując go innymi, można otrzymywać inne geometrie (tak zwane geometrie nieeuklidesowe).

Pojęcia pierwotne planimetrii

Punkt, prosta, płaszczyzna i są to elementarne, czyli podstawowe figury geometryczne, których nie definiuje się. Precyzyjniej mówiąc, nie można zdefiniować np. prostej nie używając w definicji słowa "prosta". Oczywiście w tak zwanym świecie rzeczywistym nie ma idealnego punktu, prostej ani płaszczyzny. Nawet jakby były to nie można by tego stwierdzić. Bez trudu można je sobie za to wyobrazić.

Punkt
Opisowo mówiąc punkt to figura, która nie ma wymiaru. Punkty oznaczamy wielkimi literami A, B, C, ...

Prosta
Choć nie da się zdefiniować to łatwo sobie ją wyobrazić. O prostej możemy powiedzieć, że składa się z nieskończenie wielu punktów. Prostą oznaczamy małymi literami k, l, m, ... Prosta ma własność, która odróżnia ją od innych linii. Otóż od jednego punktu do jakiegokolwiek drugiego, może prowadzić wiele linii, ale tylko jedna prosta. Tę własność prostej formułuje właśnie pierwszy aksjomat Euklidesa. Wniosek - jeśli dwie proste mają dwa różne punkty wspólne, to proste takie pokrywają się, czyli są jedną prostą. Zatem dwie różne proste mogą mieć co najwyżej jeden punkt wspólny. Zauważmy, że rozważania te nie są oparte na intuicji tylko na aksjomatach! Jeśli proste na płaszczyźnie nie mają punktów wspólnych, to nazywamy je równoległymi. Dwie różne proste nazywamy prostopadłymi, jeżeli jedna z nich jest osią symetrii drugiej. Mając dowolny punkt na płaszczyźnie, możemy przez niego poprowadzić dowolną ilość prostych, które tworzą tak zwany pęk prostych. Punkt, przez który przechodzą wszystkie proste, nazywa się wierzchołkiem pęku.

Płaszczyzna
Choć i jej nie da się zdefiniować to również łatwo sobie ją wyobrazić. O płaszczyźnie możemy jedynie powiedzieć, że jest to powierzchnia (choć tej jeszcze wcale nie definiowaliśmy), która jest "prostoliniowa" w każdym kierunku, innymi słowy w którymkolwiek kierunku się udamy, to zawsze będziemy podążać po prostej.

Figury geometryczne

Figura geometryczna (płaska) to dowolny zbiór punktów płaszczyzny. W świetle tej definicji punkt, prosta i płaszczyzna są figurami płaskimi. Jak widać nasze poczciwe trójkąty, kwadraty, trapezy to tylko kropelka w morzu możliwych figur płaskich. Figura płaska może być wypukła i wklęsła. Figurę nazywamy wypukłą, jeśli każdy odcinek, którego końce należą do figury, zawiera się w niej całkowicie. Figurę, która nie jest wypukła, nazywamy wklęsłą. Figurę płaską nazywamy ograniczoną, jeżeli zawiera się w pewnym kole. Figurę płaską, która nie zawiera się w żadnym kole nazywamy nieograniczoną. Punkt B nazywamy punktem brzegowym figury, jeżeli w każdym kole o środku w punkcie B znajdują się zarówno punkty danej figury, jak i punkty do niej nie należące. Punkt W nazywamy punktem wewnętrznym figury, jeżeli istnieje koło o środku w punkcie W zawarte całkowicie w tej figurze.Brzegiem figury nazywamy zbiór wszystkich punktów brzegowych tej figury. Wnętrzem figury nazywamy zbiór wszystkich jej punktów wewnętrznych. Dwie figury są przystające, jeśli jedną z tych figur można nałożyć na drugą za pomocą obrotu, przesunięcia lub obydwu tych przekształceń.

Uff... dużo tego. Ale jeszcze nie koniec. Zdefiniujmy tak dobrze znane obiekty jak:

Odcinek
To taki zbiór punktów prostej (znajdujący się w 1 kawałku i różny od punktu), że po wyjęciu go z prostej pozostają dwa zbiory (półproste). Jak widać definicja tego co łatwo nam sobie wyobrazić może być całkiem zakręcona. Ale można prościej. Odcinkiem AB nazywamy figurę utworzoną z dwóch różnych punktów A i B(zwanych jego końcami) oraz wszystkich punktów leżących między nimi na prostej wyznaczonej przez te punkty.

Łamana
Łamaną nazywamy figurę geometryczną, składającej się ze skończonej liczby odcinków, takich że żadne dwa następujące po sobie odcinki nie leżą na jednej prostej. Koniec pierwszego odcinka jest początkiem drugiego, koniec drugiego - początkiem trzeciego ... a koniec przedostatniego początkiem ostatniego. Jeśli początek pierwszego odcinka pokrywa się z końcem ostatniego, to łamaną nazywamy zamkniętą; w przeciwnym razie mówimy, że łamana jest otwarta. Jeżeli odcinki nie przecinają się (nie mają punktów wspólnych poza wierzchołkami), to łamaną nazywamy zwyczajną. W przeciwnym razie mówimy o łamanej wiązanej. Odcinki łamanej nazywamy bokami, a ich końce wierzchołkami.

Półprosta
Jeśli na prostej obierzemy dowolny punkt A, to punkt ten dzieli tą prostą na dwie części. Każda z tych części zawierać będzie nieskończoną ilość punktów i każda z nich nazywa się półprostą. Punkt A nazywamy początkiem półprostej. Z odcinkiem wiąże się pojęcie symetralnej odcinka. Otóż symetralną odcinka nazywamy prostą prostopadłą do tego odcinka i przechodzącą przez jego środek. Inaczej - symetralna odcinka jest zbiorem wszystkich punktów płaszczyzny jednakowo oddalonych od końców odcinka.

Kąt... tak tak, o nas mowa!
Kąt to każda z dwóch części płaszczyzny ograniczonych dwiema półprostymi o wspólnym początku (wierzchołek kąta) wraz z tymi półprostymi (ramiona kąta). Kąt oznaczamy literami alfabetu greckiego: α, β γ. Kąt o tej własności, że odcinek łączący dwa dowolne punkty na różnych ramionach kąta zawiera się wewnątrz kąta nazywamy kątem wypukłym. Kąt, który nie ma tej własności nazywamy kątem wklęsłym. Dwusieczną kąta nazywamy półprostą, która dzieli go na dwa przystające kąty. Dwusieczną jest również osią symetrii kąta, a każdy punkt dwusiecznej kąta jest równo odległy od obu ramion kąta.

Wielokąt
To figura płaska ograniczoną łamaną zwyczajną zamkniętą.Wielokąt o n bokach nazywamy również n-kątem. Dobrze znamy trójkąty i czworokąty, ale jak widać to tylko wierzchołek góry lodowej. Łamaną tworzącą wielokąt nazywamy jego brzegiem. Brzeg wielokąta dzieli płaszczyznę na dwa obszary, z których jeden jest ograniczony, nazywamy go wewnętrznym, drugi jest nieograniczony i nazywamy go zewnętrznym. Przekątną wielokąta nazywamy odcinek, który łaczy dwa niekolejne wierzchołki wielokąta.

Wielokąty wklęsłe i wypukłe
Jeżeli wszystkie kąty wewnętrzne wielokąta są kątami wypukłymi, to wielokąt ten nazywamy wypukłym. Jeżeli co najmniej jeden kąt wewnętrzny jest wklęsły, to wielokąt nazywamy wklęsłym.

Kąty wewnętrzne i zewnętrzne wielokąta
Kąty utworzone przez dowolne dwa kolejne boki nazywamy kątami wewnętrznymi. Kąt zewnętrzny wielokąta to kąt przyległy do kąta wewnetrznego tego wielokąta. Suma miar kątów wewnętrznych n-kąta wynosi (n - 2) · 180O. Suma miar kątów zewnętrznych każdego wielokąta wypukłego jest równa 360O.

Wielokąty przystające
Wielokąty przystające to takie wielokąty, które dadzą się nałożyć na siebie za pomocą obrotu, przesunięcia lub złożenia tych przekształceń.

Wszystko to do tej pory było jakieś takie... hm... kanciaste. A przecież figury mogą być całkiem obłe, na przykład:

Okrąg i koło

Okręgiem nazywamy linię, której wszystkie punkty leżą w tej samej odległości od danego punktu zwanego środkiem okręgu. Koło to część płaszczyzny ograniczona okręgiem, wraz z nim. Łuk okręgu to jedna z dwóch części okręgu wyznaczona przez dwa punkty tego okręgu. Cięciwa okręgu (koła) to odcinek łączący dwa różne punkty okręgu. Średnica okręgu (koła) - to najdłuższa z jego cięciw, która przechodzi przez środek okręgu (koła). Sieczna to prosta mająca z okręgiem dokładnie dwa punkty wspólne, prostą mająca dokładnie jeden punkt wspólny nazywamy styczną do okręgu.

Kąt środkowy i kąt wpisany (w okrąg)
Kąt wpisany to taki kąt wypukły, którego wierzchołkiem jest dowolny punkt okręgu, a ramiona są półprostymi zawierającymi cięciwy tego koła. Kąt środkowy to kąt, którego wierzchołkiem jest środek koła, a ramiona są półprostymi zawierającymi promienie koła. Kąt środkowy jest dwa razy większy od kąta wpisanego opartego na tym samym łuku. Kąt wpisany oparty na półokręgu, jest prosty.

Wycinek i odcinek koła
Wycinek koła to jedna z dwóch części, na jakie dzielą koło dwa promienie. Odcinek koła to jedna z dwóch części na jakie koło dzieli cięciwa.

Wielokąt wpisany i opisany na okręgu
Wielokąt, którego wszystkie wierzchołki należą do okręgu, nazywamy wielokątem wpisanym w okrąg (okrąg ten nazywamy okręgiem opisanym na tym wielokącie). Na wielokącie można opisać okrąg wtedy i tylko wtedy, gdy symetralne wszystkich boków wielokąta przecinają się w jednym punkcie. Punkt ten jest środkiem okręgu opisanego na wielokącie.
Wielokąt, którego wszystkie boki są styczne do pewnego okręgu, nazywamy wielokątem opisanym na okręgu (okrąg ten nazywamy okręgiem wpisanym w wielokąt). W wielokąt wypukły można wpisać okrąg wtedy i tylko wtedy, gdy dwusieczne wszystkich kątów wielokąta przecinają się w jednym punkcie. Punkt ten jest środkiem okręgu wpisanego w wielokąt.

Trójkąty

Trójkąty są tak ważnymi wielokątami, że warto poświęcić im cały dział. Co tam, dział, wszystkie strony na wszystkich serwerach naszej galaktyki powinny być o trójkątach... :-). Ale do rzeczy. Wielokąt o najmniejszej liczbie boków to trójkąt. Inaczej: trójkąt to obszar ograniczony łamaną zwyczajną zamkniętą złożoną z trzech odcinków. Dla dociekliwych - czy każda łamana o 3 bokach leży na płaszczyźnie? A o 4 i więcej?
Wysokością trójkąta nazywamy najkrótszy odcinek łączący wierzchołek trójkąta z przeciwległym bokiem (lub jego przedłużeniem). Jest on zawsze prostopadły do tego boku. Każdy trójkąt ma trzy wysokości, a ich przecięcie nazywa się ortocentrum. Środkowe to odcinki łączące wierzchołki ze środkami boków. Środkowe przecinają się w punkcie, ktory nazywamy środkiem cieżkości trójkąta. Punkt ten dzieli każdą ze środkowych na dwie części, z których jedna jest dwa razy dłuższa niż druga.

Klasyfikacja trójkątów ze względu na boki: dowolny, którego każdy bok ma inną długość, równoramienny, czyli taki który ma dwa boki równe, równoboczny, którego wszystkie boki są równe.

Klasyfikacja trójkątów ze względu na kąty: ostrokątny, którego wszystkie kąty są ostre, rozwartokątny, czyli taki którego jeden z kątów jest rozwarty, prostokątny, którego jeden z kątów jest prosty.

Podobieństwo trójkątów
Jeżeli boki jednego trójkąta są proporcjonalne do odpowiednich boków drugiego trójkąta, to trójkąty są podobne. To samo można wyrazić językiem kątów: trójkąty są podobne jeśli mają wszystkie kąty równe. W praktyce wystarczy by równe były dwa, jeśli tak jest oczywiście trzeci też będzie równy (dlaczego?). Wreszcie, trójkąty są podobne gdy mają dwa boki proporcjonalne i równy kąt między nimi.

Czworokąty

Czworokąt to obszar ograniczony łamaną zwyczajną zamkniętą złożoną z czterech odcinków. Oczywiście łamana musi leżeć na płaszczyźnie (dlaczego?) Przekątną czworokąta nazywamy odcinek łączący przeciwległe wierzchołki. Ile ma czworokąt przekątnych każdy widzi. Czworokąt może być wypukły (takie lubimy) i wklęsły (też lubimy ale nieco mniej).

Słynne czworokąty (te z pierwszych stron gazet...)

Prostokąt - czworokąt o wszystkich kątach prostych

Kwadrat - taki prostokąt co to jeszcze ma wszystkie boki równe

Trapez - taki czworokąt, który ma przynajmniej jedną parę boków równoległych. Boki równoległe w trapezie nazywamy podstawami, pozostałe boki nazywamy ramionami.

Równoległobok - to czworokąt, w którym przeciwległe boki są równoległe (i równe, ale to wynika z równoległości).

Romb - to równoległobok o wszystkich bokach równych

Trapezoid - to czworokąt, którego żadne boki nie są parami równoległe ani nie są parami równe

Deltoid - to czworokąt posiadający dwie pary boków sąsiednich równych, w którym żadne dwa boki nie są wzajemnie równoległe. Kto widział latawiec wie o czym mowa.

Klasyfikacja czworokątów

Klasyfikacja czworokątów

GÓRA         SZKOŁA         

©2007-2016 Łukasz Ługowski, Młodzieżowy Ośrodek Socjoterapii nr 2 „KĄT”. Wykonanie:
Licencja Creative Commons - zdjęcia, rysunki i obrazy należą do uczniów i pracowników MOSu „KĄT”; kilka przyjaciół i znajomych

Podziękowania: Uczniowie, nauczyciele & „KĄTowi” przyjaciele!