Rachunek prawdopodobieństwa

Rachunek prawdopodobieństwa (probabilistyka) wyrósł z badań nad... grami hazardowymi, - w szczególności nad grą w kości. Dzisiaj probabilistyka to obszerny dział matematyki zajmujący się tak zwanymi zdarzeniami losowymi. Teoretyczna definicja prawdopodobieństwa zdarzenia losowego odpowiada częstości z jaką w praktyce występuje dane zdarzenie w długich seriach obserwacji. Na przykład, dla każdego jest jasne że prawdopodobieństwo wyrzucenia orła w rzucie monetą wynosi 1/2. Płynie z tego wniosek, że rzucając monetą 1000 razy liczba orłów będzie wynosić około 500 (oczywiście rzadko będzie to dokładnie 500). Owe odchylenia będą tym mniejsze im większa będzie liczba prób. Ale my tu gadu-gadu a tu pora na Podstawowe pojęcia rachunku prawdopodobieństwa.

Zdarzenia elementarne

Pojęciem pierwotnym teorii prawdopodobieństwa jest zdarzenie elementarne. Analizując doświadczenie, należy sporządzić listę jego wyników, która musi być kompletna, tzn. doświadczenie nie może zakończyć się wynikiem, którego nie ma na liście oraz każdy wynik umieszczony na liście musi wykluczać wszystkie inne. Elementy tak sporządzonej listy utożsamiamy ze zdarzeniami elementarnymi i oznaczamy ω1, ω2, ..., ωn.

Zbiór wszystkich zdarzeń elementarnych związanych z danym doświadczeniem losowym nazywamy przestrzenią zdarzeń elementarnych i oznaczamy grecką literą Ω.

Zdarzenie jest to dowolny podzbiór zbioru zdarzeń elementarnych.

Przykłady. Przestrzenią zdarzeń elementarnych rzutu kostką do gry jest zbiór Ω={1, 2, 3, 4, 5, 6} gdzie cyfra 1 oznacza wyrzucenie jednego oczka, cyfra 2 dwóch oczek, itd. Moc zbioru zdarzeń elementarnych Ω wynosi 6. Przestrzenią zdarzeń elementarnych 10-krotnego irzutu monetą jest zbiór wszystkich 10-wyrazowych ciągów, o wyrazach = O (orzeł) i R (reszka). Można wykazać, że tym razem moc zbioru zdarzeń elementarnych Ω wynosi 210. W przykładzie pierwszym zdarzeniem może być np. zbiór A={1, 2, 3}, który można określić słownie "wypadła liczba oczek mniejsza niż 4" albo B={2, 4, 6} "wypadła parzysta liczba oczek". W przykładzie pierwszym zdarzeniem może być np. "wypadło dokładnie 5 orłów" albo "nie wypadła żadna reszka" lub też "orzeł wypadł za 2, 3 i 6 razem".

Jeżeli Ω jest zbiorem zdarzeń elementarnych, to zdarzeniem losowym (albo po prostu zdarzeniem) nazywamy każdy podzbiór zbioru Ω. Zdarzenia losowe oznaczamy wielkimi literami A, B, C, ... Wśród wszystkich podzbiorów przestrzeni zdarzeń Ω zbiór pusty odpowiada zdarzeniu niemożliwemu, zaś cały zbiór Ω (cała przestrzeń) odpowiada zdarzeniu pewnemu.

Jeżeli wynikiem doświadczenia jest zdarzenie elementarne ωi oraz ω ∈ A to mówimy, że zaszło zdarzenie A oraz że ωi sprzyja zdarzeniu A.

Aksjomatyczna definicja prawdopodobieństwa

Jeżeli Ω jest daną przestrzenią zdarzeń elementarnych i każdemu zdarzeniu jest przyporządkowana dokładnie jedna liczba P(A) taka, że:

  1. P(A)>0
  2. P(A+B)
  3. P(omega)
  1. mówi, że prawdopodobieństwo zdarzenia jest liczbą większą lub równą 0.
  2. mówi, że dla każdej pary zdarzeń rozłącznych (wykluczających się) prawdopodobieństwo ich sumy równa się sumie prawdopodobieństw.
  3. mówi, że prawdopodobieństwo zdarzenia pewnego wynosi 1.

Klasyczna definicja prawdopodobieństwa

Jeżeli przestrzeń zdarzeń elementarnych Ω składa się z n zdarzeń jednakowo możliwych i wśród nich jest m zdarzeń sprzyjających zajściu zdarzenia A, to liczbę m/n nazywamy prawdopodobieństwem zajścia zdarzenia A.

Prawdopodobieństwo każdego zdarzenia losowego jest liczbą należącą do przedziału <0; 1>

Własności prawdopodobieństwa

  1. P(PHI)=0
  2. P(A')
  3. P(A+B)
  1. mówi, że prawdopodobieństwo zdarzenia niemożliwego wynosi 0
  2. mówi, że prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego do A wynosi 1 minus prawdopodobieństwo zdarzenia A
  3. mówi, że prawdopodobieństwo sumy zdarzeń A i B jest równe sumie ich prawdopodobieństw pomniejszonej o prawdopodobieństwo ich iloczynu

Prawdopodobieństwo warunkowe

Prawdopodobieństwo warunkowe dotyczy zdarzeń zależnych. Jeśli wystąpienie jakiegoś zdarzenia powoduje zmianę prawdopodobieństwa wystąpienia innego, to są to właśnie zdarzenia zależne.

Prawdopodobieństwem zajścia zdarzenia A pod warunkiem, że zaszło zdarzenie B , nazywamy liczbę:

Prawdopodobieństwo warunkowe

Przykład

Rzucamy trzema kostkami. Jakie jest prawdopodobieństwo, że na żadnej kostce nie wypadła szóstka, jeśli na każdej kostce wypadła inna liczba oczek? Niech A oznacza zdarzenie, że nie wypadła szóstka, natomiast B zdarzenie, że na każdej kostce wypadła inna liczba oczek.

Rozwiązanie:

Zatem szukane prawdopodobieństwo wynosi 1/2. █

Prawdopodobieństwo całkowite

Jeżeli zdarzenia B1, B2, ..., Bn należące do przestrzeni zdarzeń elementarnych Ω spełniają warunki (*):

  1. Zdarzenia wyłączają się parami
  2. P(Bi>0)
  3. P(A+B)
  1. mówi, że zdarzenia wyłączają się parami
  2. mówi, że prawdopodobieństwa wszystkich zdarzeń Bi są niezerowe
  3. mówi, że suma zdarzeń Bi równa się całej przestrzeni

to dla dowolnego zdarzenia A należącego Ω zachodzi wzór (*):

Prawdopodobieństwo całkowite

Mówimy też, że rodzina zdarzeń B1, B2, ..., Bn taka stanowi rozbicie przestrzeni Ω. Ilustruje to poniższy rysunek (dla pięciu zdarzeń).

Rozbicie przestrzeni

Zdarzenie A zawiera się w Ω i "zahacza", czyli ma część wspólną ze zdarzeniami z rodziny B1, B2, ..., Bn:

Rozbicie przestrzeni

Widać, że:

Rozbicie przestrzeni

Z faktu, że składniki sumy są zdarzeniami rozłącznymi wynika wzór (*) na prawdopodobieństwo całkowite.

Przykład

W urnie A znajduje się 6 białych i 4 czarne kule, a w urnie B 3 białe i 3 czarne kule. Przekładamy dwie kule z urny A do urny B, a następnie z urny B losujemy jedną kulę. Oblicz prawdopodobieństwo, że wylosowana kula jest biała.

Rozwiązanie

Z urny A do urny B można przełożyć 2 kule białe lub 2 kule czarne lub 1 kulę białą i 1 czarną. Od zestawu kul, które zostaną przełożone zależy prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej z urny B.

Oznaczmy zdarzenia:

A - wylosowanie kuli białej z urny B

B1 - przełożenie z urny A do urny B dwóch kul białych

B2 - przełożenie z urny A do urny B dwóch kul czarnych

B3 - przełożenie z urny A do urny B 1 kuli czarnej i 1 białej

A│B1 - wylosowanie kuli białej z urny B, jeśli przełożono do niej 2 kule białe

A│B2 - wylosowanie kuli białej z urny B, jeśli przełożono do niej 2 kule czarne

A│B3 - wylosowanie kuli białej z urny B, jeśli przełożono do niej 1 kulę białą i 1 kulę czarną

Ponieważ zdarzenia B1, B2, B3 spełniają założenia twierdzenia o prawdopodobieństwie całkowitym (są parami rozłączne, ich suma wyczerpuje przestrzeń zdarzeń elementarnych i mają niezerowe prawdopodobieństwa), zatem:

P(A) = P(A│B1)·P(B1) + P(A│B2)·P(B2) + P(A│B3)·P(B3)

Co po wyliczeniu poszczególnych prawdopodobieństw daje wynik P(A) = 63/120. █

Wzór Bayesa

Bardzo przydatny jest również wzór Bayes'a pozwalające obliczyć prawdopodobieństwo zajścia warunku B gdy zaszło zdarzenie A. Często stykamy się z zagadnieniami, w których znamy skutek zdarzenia, a chcemy oszacować prawdopodobieństwa różnych możliwych jego przyczyn. Do wyznaczania takich właśnie prawdopodobieństw służy ten wzór.

Jeżeli:

P(A+B)

to:

Wzór Bayesa

Przykład

Wśród 65 monet jest jedna z dwoma orłami. Na wybranej losowo monecie wypadł orzeł 6 razy z rzędu. Jaka jest szansa, że była to moneta z dwoma orłami?

Rozwiązanie

Niech A - oznacza zdarzenie 'sześć razy wypadł orzeł', B1 - rzucano prawidłową monetą, B2 - rzucano monetą z dwoma orłami.

Musimy policzyć:

Zatem szukane prawdopodobieństwo wynosi 1/2.█

Niezależność zdarzeń

Zdarzenia A i B nazywamy niezależnymi, jeśli:

w przeciwnym wypadku mówimy, że zdarzenia A i B są zależne. Inaczej -zdarzenie B nie ma wpływu na prawdopodobieństwo zdarzenia A i odwrotnie.

Schemat Bernoulliego

To ciąg doświadczeń niezależnych, w których dane doświadczenie powtarzamy n-razy i w którym prawdopodobieństwo zdarzenia A (zdarzenie A-wynik doświadczenia) jest stałe, nie zależy od wyników poprzednich. Sukcesem będziemy nazywać wystąpienie zdarzenia A, a porażką jego niewystąpienie. Oczywiście, jeżeli prawdopodobieństwo sukcesu wynosi p, to prawdopodobieństwo porażki wynosi 1-p.

W schemacie n-prób Bernoulliego prawdopodobieństwo Pn (k) otrzymania dokładnie k-sukcesów wyraża się wzorem:

Schemat Bernoulliego

Jeżeli (n+1) ∙ p jest liczbą całkowitą, to najbardziej prawdopodobną liczbą sukcesów k sukcesów wynoszą (n+1) ∙ p i (n+1) ∙ (p-1) i prawdopodobieństwa ich są równe.
Jeżeli (n+1) ∙ p nie jest liczbą całkowitą to najbardziej prawdopodobną liczbą sukcesów k jest największa liczba całkowita k0 taka, że k0 < (n+1) ∙ p.

Ze schematu Bernoulliego można wyliczyć na przykład prawdopodobieństwo wyrzucenia monetą 50 orłów w 100 rzutach. Wynosi ono... no właśnie... ile?