Kilka słów o liczbach rzeczywistych (i ich podzbiorach)

Współczesna matematyka opiera się na pojęciu liczby. Ale co to jest ta liczba? Uczyliśmy się w szkole o ułamkach, pierwiastkach, liczbach ujemnych, niektórzy umieją nawet je dodawać czy wyciągać, za to większość je serdecznie znienawidziła. Dla istotnego zrozumienia systemu liczbowego musimy cofnąć się do najprostszych elementów. Gdy zrozumiemy je, ale tak naprawdę, zrozumiemy całą matematykę. I pojmiemy, że nic do tej pory o niej nie wiedzieliśmy. W dziedzinie teorii liczb rzeczywistych znaczne zasługi położyli - niemiecki matematyk Richard Dedekind. Napisał on słynną pracę: Czym są i co znaczą liczby? (Was sind und was sollen die Zahlen?) zawierającą logiczną teorię liczb i indukcji zupełnej oraz aksjomatykę arytmetyki liczb naturalnych. Rozwinął teorię liczb niewymiernych w oparciu o tzw. przekroje. Włoski matematyk Giuseppe Peano opracował stosowaną powszechnie aksjomatykę arytmetyki liczb naturalnych (tzw. aksjomaty Peano). Matematyk francuski Pierre de Fermat dokonał wielu odkryć w teorii liczb (m.in. sformułował słynne wielkie twierdzenie Fermata). Ogromny wkład w rozwój teorii liczb miał też niemiecki matematyk Carl Friedrich Gauss. Dzisiejsza teoria liczb zajmuje się w zasadzie tylko liczbami naturalnymi, jednak śmiało można orzec, że liczba naturalna jest jednym z najważniejszych pojęć matematyki - poetycko mówiąc - cała matematyka "utkana" jest z liczb naturalnych.

Richard Dedekind Giuseppe Peano Pierre de Fermat Pierre de Fermat
Richard Dedekind Giuseppe Peano Pierre de Fermat Carl Gauss
Uczeni, którzy wnieśli wielki wkład w zdefiniowanie pojęcia liczby rzeczywistej

Pojęcie liczby rzeczywistej jest szersze obejmuje wszystkie rodzaje liczb - liczby naturalne, całkowite, ułamki, oraz pozostałe liczby, które nazywamy niewymiernymi. Jeszcze inaczej - są to liczby, które reprezentują wartości ciągłe. Zbiór liczb rzeczywistych oznaczany jest symbolem R. Jednak najważniejszym zbiorem liczb, zbiorem na bazie którego zbudowana jest cała matematyka są liczby naturalne. W całej swojej wspaniałości niewątpliwie zasługują na nazwę "naturalne". Są to pierwsze liczby, z którymi stykamy się w życiu, więc nawet nie zdajemy sobie sprawy jak głęboko siedzą w naszej świadomości. Umysł ludzki stworzył je do przeliczania przedmiotów. Nie mają one nic wspólnego z ich cechami. I tak na przykład liczba 7 jest abstrakcją wszystkich zbiorów zawierających 7 elementów. I to jest właśnie piękne. Jak wszystko w matematyce, także i u podstaw liczb naturalnych tkwią aksjomaty. Są to aksjomaty Peano. Z pozoru wyglądają na wyważanie otwatych drzwi, pamiętajmy jednak, że do zdefiniowania obiektów matematycznych nie wystarczy nasza intuicja, która bywa czasem zawodna. Aby spojrzeć na sprawę z innej perspektywy, oznaczmy znajomą nam liczbę 1 (można również 0), poprzez J. I tak po kolei:

Aksjomatyka liczb naturalnych

Aksjomat 1. J jest liczbą naturalną.

Aksjomat 2. Dla każdej liczby naturalnej istnieje dokładnie jedna liczba naturalna, zwana jej następnikiem.

Aksjomat 3. J nie jest następnikiem żadnej liczby naturalnej.

Aksjomat 4. Jeśli dwie liczby naturalne mają równe następniki, to są sobie równe.

Aksjomat 5. (Aksjomat indukcji): Niech dany będzie zbiór, którego elementami są liczby naturalne o następujących własnościach: 1) J jest elementem tego zbioru. 2) Wraz z każdą liczbą naturalną należącą do tego zbioru, należy do niego także jej następnik. Wówczas zbiór ten zawiera wszystkie liczby naturalne.

Niektórzy matematycy zaliczają zero do liczb naturalnych, inni nie. Jest to wyłącznie kwestia nazewnictwa. Zarówno zbiór liczb naturalnych z zerem, jak i bez niego ma powyższe własności. W tym pierwszym przypadku J oznacza 0, w tym drugim 1.

Idąc dalej, czym są liczby ujemne? Otóż powstały one niejako z konieczności. W zbiorze liczb naturalnych możemy zawsze wykonać dodawanie. Natomiast działanie "odwrotne" czyli odejmowanie nie zawsze jest wykonalne (kiedy nie jest?). Pierwszym krokiem w kierunku zniesienia tego ograniczenia było wprowadzenie symbolu 0, kolejnym, symboli -1, -2, -3, ..., wraz z definicją:
b - a = -(a - b),
dla przypadku b < a, dzięki czemu odejmowanie może być wykonywane bez żadnych ograniczeń. Innymi słowy wystarczy wziąć zbiór liczb naturalnych, uzupełnić go zbiorem takich samych liczb będących jak gdyby ich lustrzanym odbiciem, a w miejscu lustra postawić liczbę 0. I już mamy liczby całkowite. Z liczbami wymiernymi sprawa jest nieco trudniejsza. Wbili nam do głów, że są to ułamki. Ale czym naprawdę są ułamki? Otóż przedstawiają one symbolicznie operacje jakie wykonujemy na liczbach całkowitych. Licznik to liczba całkowita. Mianownik zaś to liczba (też całkowita) części na którą dzielimy licznik. Do tak zwanego życia wystaczają nam niewątpliwie liczby wymierne, gdyż wszystkie pomiary wykonujemy w tych liczbach, zresztą nie tylko pomiary: wszelkie rachunki wykonywane są w praktyce wyłącznie w obrębie liczb wymiernych. Po co więc wprowadzać szersze, lecz znacznie trudniejsze pojęcie liczb rzeczywistych, skoro liczby wymierne wystarczają aż nadto? A po to, że stanowią one przytłaczającą większość wszystkich liczb. Tak przytłaczającą, że w porównaniu z nimi wszystkie liczby wymierne dosłownie znikają jak cukierki w dziecinnym pokoju. Zbiór liczb wymiernych przy zbiorze liczb rzeczywistych wygląda jak gęste, ale nieskończenie cienkie sito. Przez to sito przecieka treść większości twierdzeń matematycznych

Oś liczbowa

Doskonałym zobrazowaniem zbioru liczb rzeczywistych jest tak zwana oś liczbowa. Nie, nie bójcie się. Jest to po prostu zwykła prosta. No może nie taka do końca zwykła, gdyż jednemu z jej punktów (wszystko jedno któremu) przyporządkowujemy liczbę 0. Wystarczy teraz obrać gdziekolwiek drugi punkt i przyporządkować mu liczbę 1. I już mamy odpowiednik zbioru liczb rzeczywistych. Jak to, ktoś zapyta? A gdzie one są? Ano gdzie są liczby całkowite to wiadomo. Szukając na przykład liczby 10 lub -10 wystarczy odłożyć długość odcinka łączącego punkty 0 i 1 10 razy w prawo, poczynając od punktu 0 (dla liczby 10) lub 10 razy w lewo (dla liczby -10). Liczby wymierne też łatwo znaleźć. (Jak?). Punkty, które nie odpowiadają żadnej liczbie wymiernej są odpowiednikami liczb niewymiernych. Na przykład sławny jak Doda Elektroda pierwiastek z dwóch.

Liczba rzeczywista

Pojęcie liczby rzeczywistej jest niezbędne dla całej matematyki teoretycznej. Nie ulega wątpliwości, że pojęcie liczby wymiernej jest prostsze niż liczby rzeczywistej. Dla laika liczba rzeczywista, wydaje się być tworem niemalże mistycznym, w każdym razie NIEZBYTrzeczywistym - dużo bardziej NIErzeczywistym niż poczciwa liczba wymierna. Ale śpieszę ostudzić mistyków. Otóż liczby rzeczywiste są równie rzeczywiste jak liczby wymierne a i naturalne. Wszystkie są bowiem tylko pojęciami matematycznymi. Z tego punktu widzenia NAPRAWDĘ nie istnieją. To tylko pewne abstrakcje w naszych umysłach. Choć może wszystko jest abstrakcją... nawet szkoła do której chodzimy... i ten gościu co truje coś nam o jakichś liczbach...

Opiszę zatem sposób postępowania prowadzący do wyznaczenia konkretnych liczb rzeczywistych. Weźmy naszą prostą, na której umiemy już znaleźć wszystkie liczby wymierne i podzielmy cały zbiór liczb wymiernych na dwa rozłączne podzbiory, dające w sumie cały zbiór. Jest to tak zwany PRZEKRÓJ. Innymi słowy weźmy bardzo ostry nóż, tak ostry że trafia tylko w jedną liczbę i przetnijmy naszą prostą. Ostry, bo przecież nie chcemy naszego drogocennego zbioru poszarpać. Zgodzimy się chyba z tym, że każda liczba należąca do części po lewej stronie jest mniejsza niż każda liczba należąca do części po stronie prawej. Nazwijmy część po lewej zbiorem A, a część po prawej zbiorem B. Mogą zajść następujące przypadki:

Zbiór A zawiera element największy, a zbiór B nie ma elementu najmniejszego. Dzieje się tak, gdy trafimy nożem dokładnie w liczbę wymierną i zdecydujemy się na wrzucenie jej do zbioru A.

Zbiór A nie zawiera elementu największego, a zbiór B zawiera element najmniejszy. Dzieje się tak, gdy również trafimy dokładnie w liczbę wymierną i zdecydujemy się na wrzucenie jej do zbioru B.

Zbiór A nie zawiera elementu największego, a zbiór B nie zawiera elementu najmniejszego. Dzieje się tak, gdy trafimy w liczbę niewymierną. Dlaczego niewymierną? Dlatego, że gdyby była wymierna, a ani zbiór A ani B by jej nie zawierały, znaczyłoby to znaleźliśmy liczbę wymierną, która nie należy do zbioru liczb wymiernych!

Tym sposobem liczby niewymierne odpowiadają podziałom zbioru liczb wymiernych na dwa rozłączne zbiory, które nie posiadają elementu ani największego ani najmniejszego. Okazuje się, że tych podziałów jest znacznie więcej niż wszystkich liczb wymiernych.

Liczby niewymierne można również traktować jako granice ciągów pewnych liczb wymiernych. Na przykład liczba e, czyli podstawa logarytmów naturalnych to granica pewnego ciągu liczb wymiernych. Zapisujemy to tak: Liczbe e. Ale to już zupełnie inna bajka...

Ten przydługi dowód był po to by zrozumieć pojęcie liczby rzeczywistej. Śmiem twierdzić, że jest to nawet ważniejsze niż wyniki Tańca z Gwiazdami. Bez jego zrozumienia dalsze wywody będą niczym zaawansowany kurs chińskiego dla Eskimosów.

Oś liczbowa
Oś liczbowa

Na powyższym rysunku znajduje się fragment osi liczbowej. Punkty odpowiadające zaznaczonym liczbom niewymiernym: pierwiastek z dwóch, e, Π, wyznaczają właśnie przekroje zbioru liczb wymiernych nie zawierające elementów najmniejszych ani największych. Prawda, że to piękne?

Tak naprawdę w całej matematyce najważniejsze jest właśnie to piękno. To całe liczenie, całą mozolną buchalterię pozostawmy maszynom. Jeśli uchwycimy to piękno, to sami rzucimy się w wir obliczeń by dotrzeć do niego.

No dobrze, schodzimy na ziemię czyli do nudnych podręcznikow szkolnych. W końcu czeka nas matura... Podsumujmy zatem co należy wiedzieć, a jeszcze lepiej rozumieć. Oczywiście chodzi o liczby rzeczywiste.

Podzbiorami zbioru liczb rzeczywistych są:
- zbiór liczb naturalnych
- zbiór liczb całkowitych
- zbiór ułamków (liczb wymiernych)
- zbiór liczb niewymiernych (jego podzbiorami są zbiór liczb algebraicznych i liczb przestępnych)

Wzajemne położenie tych zbiorów w zbiorze liczb rzeczywistych pokazałem na rysunku:

Zbiór liczb rzeczywistych
Zbiór liczb rzeczywistych i jego podzbiory
Podzbiory R na osi liczbowe

Podzbiory zbioru R oznaczone na osi liczbowej

Liczby naturalne i całkowite są tak naturalne i całkowicie zrozumiałe, że pominę ich opis. Liczby wymierne to po prostu ułamki. Każdą liczbę wymierną można przedstawić w postaci ułamka dziesiętnego skończonego lub okresowego. Jak czas i chęci pozwolą, sposób ich przedstawiania znajdzie się tutaj. O liczbach niewymiernych trochę już mówiłem. Powiem tylko, że gdybyśmy spróbowali taką liczbę przedstawić w postaci ułamka dziesiętnego, praca nasza nigdy by się nie zakończyła. Weźmy na przykład takie Π.
Spróbujmy. Π = 3.14159265358979323846264338327950288419716939937510... Ufff, jakoś końca nie widać ani nawet okresu. Zostawmy tę pracę, bo nie mamy szans jej skończyć.
Naturalnie nasuwa się pytanie jak rozpoznać z jaką liczbą mamy do czynienia. Trywialnym przypadkiem są liczby całkowite, bo widać to na "pierwszy rzut oka" (no chyba, że liczba jest tak długa, że znalezienie ostatniej cyfry trwałoby dłużej niż nasze życie, hihi). Liczba wymierna również "widać", że jest wymierna gdyż jest albo ułamkiem zwykłym albo dziesiętnym okresowym. Gorzej bywa z liczbami niewymiernymi. No bo jak ustalić czy na przykład pierwiastek 17 stopnia z 17 jest wymierny czy też nie? Albo znowu Π? Są to zagadnienia wykraczające poza program liceum ale stanowiące wyzwanie dla umysłu. Podam na razie fakt, że liczbą niewymierną będzie zawsze pierwiastek dowolnego stopnia z liczby pierwszej - patrz niżej (dlaczego?), a także że pierwiastej z liczby naturalnej, jeśli nie jest liczbą niewymierną, musi być liczbą naturalną (znów dlaczego?). Na dalsze wspólne rozważania zapraszam chętnych.

Liczby pierwsze

Na koniec powiem jeszcze jeszcze o pewnym ważnym podzbiorze zbioru liczb naturalnych czyli zbiorze liczb pierwszych. Otóż liczba naturalna jest liczbą pierwszą, jeśli jest ≠ 1 i dzieli się tylko przez 1 i przez samą siebie. Okazuje się, że zbiór liczb pierwszych jest nieskończony (czyli nie istnieje największa liczba pierwsza), a ponadto każda liczba naturalna jest iloczynem pewnych liczb pierwszych (mogą one się powtarzać). Na przykład 1500 = 2·2·3·5·5·5. Liczbę, która nie jest liczbą pierwszą nazywamy liczbą złożoną. Liczby pierwsze mają fundamentalne znaczenie w teorii liczb. Jeśli zbiór liczb naturalnych porównalibyśmy do materii to liczby pierwsze są odpowiednikiem pierwiastków chemicznych, a liczby złożone - związków. Przykładowe kilka (pierwszych) liczb pierwszych: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199, 211, 223, 227, 229, 233, 239, 241, 251, 257, 263, 269, 271, 277, 281, 283, 293, 307, 311, 313, 317, 331, 337, 347, 349, 353, 359, 367, 373, 379, 383, 389, 397, 401, 409, 419, 421, 431, 433, 439, 443, 449, 457, 461, 463, 467, 479, 487, 491, 499, 503, 509, 521, 523, 541, 547, 557, 563, 569, 571, 577, 587, 593, 599, 601, 607, 613, 617, 619, 631, 641, 643, 647, 643, 659, 661, 673, 677, 683, 691, 701, 709, 719, 727, 733, 739, 743, 751, 757, 761, 769, 773, 787, 797, 809, 811, 821, 823, 827, 829, 839, 853, 857, 859, 863, 877, 881, 883, 887, 907, 911, 919, 929, 937, 941, 947, 953, 967, 971, 977, 983, 991, 997... Jak widać nie widać ani końca ani jakiejkolwiek regularności. To, że liczb pierwszych jest nieskończenie wiele stosunkowo łatwo wykazać. No bo załóżmy, że znaleźliśmy wszystkie liczby pierwsze (powiedzmy, że jest ich n) i ustawiliśmy je w ciąg p1, p2, ... pn. Wówczas liczba p1· p2· ... · pn + 1 jeżeli jest liczbą pierwszą, to jest większa od każdej z liczb p1, p2, ... pn. Zatem musi być złożona. Ale gdy jest złożona to nie dzieli się przez żadną z znalezionych liczb p1, p2, ... pn. Czyli ma dzielnik pierwszy różny od p1, p2, ... pn, co stoi w sprzeczności z założeniem, że znaleziono wszystkie liczby pierwsze.

O liczbach pierwszych możnaby jeszcze długo. Poświęcić im osobny dział to i tak za mało. Powiem tylko, że świat liczb pierwszych do dziś stanowi tajemnicę dla matematyków. Są wielocyfrowe liczby pierwsze, które składają się z samych jedynek, np. 23-cyfrowa 11 111 111 111 111 111 111 111. Niektóre liczby pierwsze zapisane są kolejnymi cyframi. Liczbą pierwszą jest każda z liczb: 23, 67, 89, 789, 456, 23456789, 1234567891. Niektóre liczby pierwsze to palindromy (czytają się tak samo od tyłu i od przodu), np.: 11, 757, 111181111. Wśród liczb pierwszych są tzw. liczby lustrzane, np.: 13 i 31, 37 i 73, 79 i 97, 113 i 311. W XVIII wieku niemiecki matematyk Christian Goldbach sformułował hipotezę, iż dowolna liczba parzysta większa od 4 może być przedstawiona jako suma dwóch liczb pierwszych. Na przykład 4 = 2 + 2, 6 = 3 + 3, 8 = 5 + 3, 48 = 29 + 19, 100 = 97 + 3 itd. Jest to jeden z najsławniejszych nierozwiązanych problemów teorii liczb. Na matematyków czeka kolejny milion dolarów za jej udowodnienie!

Największa odkryta dotąd liczba pierwsza liczy 12978189 cyfr. Zapis jej jest niezwykle prosty, bowiem jest to 243112609 - 1. Na odkrywcę większej liczby pierwszej czeka też niemało, bo 100 tysięcy dolarów. Zatem do roboty! Jest się o co bić.

Zastanówmy się, których liczb jest najwięcej. Naturalnych, całkowitych, wymiernych czy też niewymiernych? Tak zwana intuicja podpowiada nam (zresztą fałszywie), że najmniej jest naturalnych, skoro są tylko podzbiorem liczb całkowitych, więcej całkowitych, jeszcze więcej wymiernych, a najwięcej niewymiernych. Otóż tak nie jest. Przebiegła odpowiedź, że wszystkich jest tyle samo bo nieskończenie wiele też jest błędna. Okazuje się, że liczb naturalnych, całkowitych i wymiernych jest tyle samo. Tyle samo gdyż istnieje metoda ustawienia ich wszystkich "po kolei", czyli przyporządkowania im liczb naturalnych. Niestety z liczbami niewymiernymi takiej sztuczki nie da się dokonać - ponieważ jest ich "więcej". Mamy zatem niejako do czynienia z nieskończonością innego rodzaju. Okazuje się, że tych różnych rodzajów nieskończoności jest nieskończenie wiele, ale to naprawdę "nieskończenie" trudne zagadnienie.

Przedział liczbowy

Przedziałem liczbowym nazywamy zbiór wszystkich liczb rzeczywistych x spełniających nierówności postaci: a < x < b, x < a lub x > a (przedziały otwarte) lub też analogiczne nierówności nieostre a ≤x ≤ b, x ≤ a lub x ≥ a (przedziały domknięte); Oznaczamy je odpowiednio: otwarte ­ (a, b), (-∞, a), (a, +∞) oraz domknięte ­ <a, b>, (-∞, a>, <a, +∞).
Zdefiniowanie przedziałów otwarto-domkniętych pozostawiam już czytelnikowi tej strony. Wierzę, że skoro dobrnął na koniec i nie zasnął to będzie to łatwe. Zatem pytanie na rozbudzenie - co jest odpowiednikiem przedziału liczbowego na prostej?

Wartość bezwzględna

Wartością bezwzględną liczby rzeczywistej (modułem liczby) nazywamy odległość tej liczby od zera na osi liczbowej. Oczywiście odległość z racji swojej natury jest zawsze większa od zera. Już jeden rzut oka wystarcza by stwierdzić, że tą samą wartość bezwzględną posiadają 2 liczby (jakie?), oprócz oczywiście liczby 0, która jest tu wyjątkiem.

Na koniec mam pewne spostrzeżenia. Otóż ta ostatnia definicja, a szczególnie zadania gdzie występuje owa wartość bezwzględna, przysparza strasznie dużo kłopotów. A wydaje się być to takie proste... Dlaczego... na to pytanie akurat odpowiedzi nie znam... Ale dowiem się, dowiem... Już wkrótce... Będzie płacz i zgrzytanie zębów... Arghhhhhhhhhh

Ciekawostki o liczbach (naturalnych)

Wygląda na to, że wszystkie liczby są doskonałe - w końcu są bytami abstrakcyjnymi. Ale wśród nich istnieją takie, które naprawdę nazywamy doskonałymi. Otóż liczbami doskonałymi nazywamy liczby naturalne, których suma dzielników (mniejszych od tej liczby ) jest równa właśnie tej liczbie. Np. 6 = 1+2+3 a 28 =1+2+4+7+14. Jak na razie znamy tylko 31 liczb doskonałych. I wszystkie są parzyste!

Nazwisko Fermat to wielkie nazwisko w matematyce. Ten francuski matematyk dokonał wielu odkryć w teorii liczb. Między innymi badał liczby, nazwane później liczbami Fermata (Fn) postaci: Liczba Fermata, gdzie n=0, 1, 2, 3, ... przypuszczając, że wszystkie liczby tej postaci są pierwsze. Jednak Euler w roku 1732 pokazał, że F5 = 4294967297 = 641·6700417, czyli jest liczbą złożoną. Dotychczas znamy 5 liczb pierwszych Fermata i 80 złożonych.

Liczby pitagorejskie to trójki liczb naturalnych spełniających równanie Pitagorasa np. 3, 4, 5 bo 32+42=52 lub 5, 12, 13 bo 52+122=132 też spełniają równanie Pitagorasa. Poszukiwanie liczb pitagorejskich sprowadza się do poszukiwania trójkątów prostokątnych o bokach będących liczbami naturalnymi. Żadna sztuka znaleźć trójkąty podobne - wystarczy znaleźć jeden i pomnożyć boki przez 2, 3, 4, itd. Trudniej znaleźć trójkąty nie będące podobne do siebie.

Liczby zaprzyjaźnione A i B to liczby których suma dzielników liczby A jest równa liczbie B i odwrotnie, suma dzielników liczby B jest równa liczbie A (jako dzielników nie bierzemy pod uwagę samych tych liczb). Na przykład 220 i 284 (sprawdzić ich przyjaźń).

Poza tym istnieją liczby trójkątne, czworokątne, pięciokątne i wiele wiele innych.

Dla tych, którzy przebrnęli przez moje wywody, na deser polecam artykuł z Delty:

Czy liczby rzeczywiste są rzeczywiste?

GÓRA         SZKOŁA         

©2007-2016 Łukasz Ługowski, Młodzieżowy Ośrodek Socjoterapii nr 2 „KĄT”. Wykonanie:
Licencja Creative Commons - zdjęcia, rysunki i obrazy należą do uczniów i pracowników MOSu „KĄT”; kilka przyjaciół i znajomych

Podziękowania: Uczniowie, nauczyciele & „KĄTowi” przyjaciele!