Stereometria

Stereometria jest działem geometrii euklidesowej, którego przedmiotem badań są bryły przestrzenne oraz ich właściwości. Każdy to zapewne wie, ale gwoli przypomnienia omówimy sobie wzajemne położenie prostych i płaszczyzn w przestrzeni.

Proste w przestrzeni

Dwie proste w przestrzeni są równoległe, jeśli zawierają się w jednej płaszczyźnie i nie mają punktów wspólnych lub pokrywają się.
Dwie różne proste w przestrzeni są prostopadłe, jeśli jedna z nich jest osią symetrii drugiej.
Dwie proste są skośne, jeśli nie istnieje płaszczyzna zawierająca obie proste.

Proste skośne

Proste skośne w przestrzeni

Prosta i płaszczyzna w przestrzeni

Prosta jest równoległa do płaszczyzny, jeżeli nie ma z nią punktów wspólnych lub zawiera się w niej. Jeżeli prosta nie jest równoległa do płaszczyzny, to mówimy, że prosta przecina płaszczyznę. Prosta k jest prostopadła do płaszczyzny p, jeżeli jest prostopadła do każdej prostej zawartej w tej płaszczyźnie i przechodzącej przez punkt wspólny prostej k i płaszczyzny p.

Prosta prostopadła do płaszczyzny

Prosta prostopadła do płaszczyzny

Jeśli prosta k nie jest równoległa i nie jest prostopadła do płaszczyzny p, to kątem nachylenia prostej k do płaszczyzny p nazywamy kąt ostry pomiędzy prostą k i jej rzutem prostokątnym 'k na płaszczyznę.

Kąt pomiędzy prostą i płaszczyzną

Kąt pomiędzy prostą i płaszczyzną

Niech k będzie prostą, która nie jest równoległa i nie jest prostopadła do płaszczyzny p, a t prostą zawierającą się w płaszczyźnie p i przechodzącą przez punkt wspólny prostej k i płaszczyzny p. Prosta t jest prostopadła do prostej k wtedy i tylko wtedy, gdy t jest prostopadła do rzutu k' prostej k na płaszczyznę p.

Prosta leżąca na płaszczyźnie prostopadła do prostej przecinającej plaszczyznę

Prosta leżąca na płaszczyźnie prostopadła do prostej przecinającej plaszczyznę

Płaszczyzny w przestrzeni

Płaszczyznę w przestrzeni jednoznacznie wyznaczają:
1. Trzy niewspółliniowe punkty

Trzy niewspółliniowe punkty
2. Dwie przecinające się proste
Dwie przecinające się proste
3. Prosta i punkt nie należący do niej
Prosta i punkt nie należący do niej
4. Dwie różne proste równoległe
Dwie różne proste równoległe

Dwie płaszczyzny nazywamy równoległymi, jeżeli nie mają punktów wspólnych lub pokrywają się.

Płaszczyzny, które nie są równoległe, nazywamy przecinającymi się. Częścią wspólną dwóch przecinających się płaszczyzn jest prosta.

Płaszczyzny przecinające się

Dwie płaszczyzny nazywamy prostopadłymi, jeżeli istnieje taka prosta, która zawiera się w jednej z tych płaszczyzn i jest prostopadła do drugiej płaszczyzny.

Płaszczyzny prostopadłe

Kątem dwuściennym nazywamy zbiór złożony z dwóch półpłaszczyzn o wspólnej krawędzi i jednej z dwóch figur wyciętych z przestrzeni przez sumę tych półpłaszczyzn.

Kątem liniowym kąta dwuściennego nazywamy kąt płaski otrzymany w wyniku przecięcia kąta dwuściennego płaszczyzną prostopadłą do jego krawędzi.

Miarą kąta dwuściennego nazywamy miarę jego kąta liniowego.

Kąt dwuścienny

Kąt dwuścienny

Odległość punktu od płaszczyzny

Odległość punktu od płaszczyzny jest równa odległości tego punktu od jego rzutu prostokątnego na płaszczyznę.

A' - rzut prostokątny punktu A na płaszczyznę p.

d = |AA'| - odległość punktu A od płaszczyzny p.

Odległość punktu od płaszczyzny

Odległość punktu od płaszczyzny

Figury przestrzenne ( bryły)

Figurę geometryczną nazywamy przestrzenną, jeżeli nie zawiera się w żadnej płaszczyźnie. Figurę w przestrzeni nazywamy ograniczoną, jeżeli zawiera się w pewnej kuli. Figurę w przestrzeni nazywamy nieograniczoną, jeżeli nie zawiera się w żadnej kuli. Punkt B nazywamy punktem brzegowym figury F w przestrzeni, jeżeli w każdej kuli o środku w punkcie B znajdują się zarówno punkty figury F, jak i punkty do niej nienależące. Punkt W nazywamy punktem wewnętrznym figury F w przestrzeni, jeżeli istnieje kula o środku w punkcie W zawarta w figurze F. Zbiór wszystkich punktów brzegowych figury nazywamy brzegiem figury. Zbiór wszystkich punktów wewnętrznych figury nazywamy wnętrzem figury. Figurę nazywamy domkniętą, jeżeli należy do niej każdy jej punkt brzegowy. Figurę nazywamy otwartą, jeżeli nie należy do niej żaden jej punkt brzegowy. Obszarem nazywamy figurę przestrzenną, która jest otwarta i której każde dwa punkty można połączyć łamaną zawartą w tej figurze. Sumę ograniczonego obszaru i jego brzegu nazywamy bryłą. Brzeg bryły nazywamy powierzchnią całkowitą bryły (powierzchnią bryły). Przekrojem bryły B płaszczyzną p nazywamy część wspólną bryły B i płaszczyzny p.

Reasumując - Figurę przestrzenną F nazywamy bryłą, jeżeli jest ograniczona, domknięta, każda kula o środku w dowolnym punkcie figury F zawiera punkty wewnętrzne tej figury oraz każde dwa punkty znajdujące się we wnętrzu figury można połączyć łamaną zawartą w tej figurze.

Wielościany

Bryłę W nazywamy wielościanem, jeżeli jej brzeg jest sumą skończonej liczby wielokątów, zwanych ścianami wielościanu, przy czym:
1. jeśli dwa wielokąty zawierają się w jednej płaszczyźnie, to mają co najwyżej jeden punkt wspólny,
2. każde dwa punkty brzegowe bryły W można połączyć łamaną zawartą w jej brzegu.

Boki ścian wielościanu nazywamy krawędziami, a wierzchołki ścian - wierzchołkami wielościanu.

Twierdzenie Eulera. Jeśli wielościan wypukły ma w wierzchołków, k krawędzi i s ścian, to
w - k + s = 2

Wielościanem foremnym nazywamy wielościan wypukły, którego wszystkie ściany są przystającymi wielokątami foremnymi i każdy jego wierzchołek jest końcem tej samej liczby krawędzi wielościanu. Wielościany foremne nazywamy również bryłami platońskimi.

Istnieje tylko pięć (5) brył platońskich. Są to: tetraedr (czworościan foremny), heksaedr (sześcian), oktaedr (ośmiościan foremny), dodekaedr (dwunastościan foremny) i ikosaedr (dwudziestościan foremny). Dlaczego tylko pięć? Pitagoras udowodnił, że płaszczyzna dookoła punktu może być zapełniona jednolicie tylko trzema rodzajami wielokątów foremnych: trójkątami, kwadratami albo pięciokątami. Żeby powstało naroże potrzebne są co najmniej trzy ściany oraz suma kątów płaskich w wierzchołku musi być mniejsza od kata pełnego. Wszystkie ściany w przypadku brył platońskich są jednakowe. Zatem jeśli wielokąty foremne tego samego rodzaju maja utworzyć naroże, to takich kombinacji jest właśnie pięć.

Czworo¶cian foremny Sze¶cian O¶mio¶cian foremny Dwunasto¶cian foremny Dwudziesto¶cian foremny
tetraedr heksaedr oktaedr dodekaedr ikosaedr

Bryły platońskie

Graniastosłupy

Graniastosłupem nazywamy wielościan, którego wszystkie wierzchołki leżą na dwóch płaszczyznach równoległych, zwanych płaszczyznami podstaw, i którego wszystkie krawędzie niezawierające się w tych płaszczyznach są równoległe. Ściany zawarte w płaszczyznach podstaw nazywamy podstawami graniastosłupa. Pozostałe ściany są równoległobokami i nazywamy je ścianami bocznymi graniastosłupa. Sumę wszystkich ścian bocznych graniastosłupa nazywamy powierzchnią boczną graniastosłupa. Sumę powierzchni bocznej i obu podstaw graniastosłupa nazywamy powierzchnią całkowitą graniastosłupa. Graniastosłup, którego podstawą jest n-kąt, nazywamy graniastosłupem n-kątnym. Przekątną graniastosłupa nazywamy każdy odcinek, którego końcami są wierzchołki obu podstaw graniastosłupa i który nie zawiera się w żadnej ze ścian graniastosłupa. Wysokość graniastosłupa to odcinek zawarty w prostej prostopadłej do jego podstaw, którego końcami są punkty wspólne tej prostej z płaszczyznami zawierającymi podstawy graniastosłupa.

Pole powierzchni całkowitej graniastosłupa o polu podstawy P i polu powierzchni bocznej Pb jest równe:

Pc = Pb + 2P

Objętość graniastosłupa o polu podstawy P i wysokości h jest równa:

V=P×h

Graniastosłup, którego krawędzie boczne są prostopadłe do podstaw, nazywamy graniastosłupem prostym. Ściany boczne graniastosłupa prostego są prostokątami. Graniastosłup, który nie jest prosty, nazywamy graniastosłupem pochyłym. Graniastosłup prosty, którego podstawa jest wielokątem foremnym, nazywamy graniastosłupem prawidłowym. Graniastosłup, którego podstawą jest równoległobok, nazywamy równoległościanem.

Równoległościan

Równoległościan

Graniastosłup, którego wszystkie ściany są prostokątami, nazywamy prostopadłościanem.

Prostopadłościan

Prostopadłościan

Ostrosłupem nazywamy wielościan, którego jedna ściana, zwana podstawą ostrosłupa, jest dowolnym wielokątem, a pozostałe ściany, nazywane ścianami bocznymi ostrosłupa, są trójkątami o wspólnym wierzchołku. Ostrosłup, którego wszystkie krawędzie boczne są równe i podstawa jest wielokątem foremnym, nazywamy ostrosłupem prawidłowym.

Ostrosłup

Bryły obrotowe

Bryłą obrotową otrzymaną w wyniku obrotu figury płaskiej F wokół prostej k, zawartej w płaszczyźnie figury F, nazywamy zbiór wszystkich punktów przestrzeni, będących obrazami punktów figury F w obrotach wokół prostej k o kąty od 0°do 360°.

Najbardziej trywialnymi "szkolnymi" przykładami brył obrotowych są walec (obracamy prostokąt), stożek (obracamy trójkąt) i kula (obracamy koło). W tym ostatnim przypadku, jeśli oś obrotu nie przecina koła, wówczas bryłą obrotową jest torus (czyli pospolicie mówiąc dętka).

Przekształcenia geometryczne (w przestrzeni)

Funkcję, której dziedziną i przeciwdziedziną jest zbiór wszystkich punktów przestrzeni nazywamy przekształceniem geometrycznym (odwzorowaniem geometrycznym).

Izometrią nazywamy przekształcenie geometryczne zachowujące odległości punktów, tzn. takie przekształcenie geometryczne, że odległość pomiędzy dwoma dowolnymi punktami A i B jest równa odległości pomiędzy ich obrazami.

Figury F i G w przestrzeni nazywamy przystającymi wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje izometria przekształcająca figurę F na G.

Przesunięciem równoległym (translacją) o wektor u nazywamy przekształcenie geometryczne przestrzeni, w którym dowolnemu punktowi A przyporządkowany jest taki punkt A', że wektor AA' = u.

Symetrią środkową względem punktu O nazywamy przekształcenie geometryczne przestrzeni, w którym dowolnemu punktowi A przyporządkowany jest taki punkt A', że punkt O jest środkiem odcinka AA'.

Symetrią osiową względem prostej k nazywamy przekształcenie geometryczne przestrzeni, w którym dowolnemu punktowi A przyporządkowany jest taki punkt A', że:

  1. Jeżeli A ∈ k, to A' = A
  2. W przeciwnym przypadku prosta A jest symetralną odcinka AA'

Jeśli obrazem figury F w symetrii środkowej względem punktu S jest ta sama figura F, to punkt nazywamy środkiem symetrii figury F.

Jeśli obrazem figury F w symetrii osiowej względem prostej k jest figura F, to prostą k nazywamy osią symetrii figury F.

Przekształcenie geometryczne p nazywamy podobieństwem o skali k > 0 wtedy i tylko wtedy, gdy |p(A)p(B)|= k×|AB| dla dowolnych punktów A i B przestrzeni.

Figury F i G w przestrzeni nazywamy podobnymi wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje podobieństwo p takie, że p(F) = G. Podobieństwo figur oznaczamy F ~ G.

GÓRA         SZKOŁA         

©2007-2016 Łukasz Ługowski, Młodzieżowy Ośrodek Socjoterapii nr 2 „KĄT”. Wykonanie:
Licencja Creative Commons - zdjęcia, rysunki i obrazy należą do uczniów i pracowników MOSu „KĄT”; kilka przyjaciół i znajomych

Podziękowania: Uczniowie, nauczyciele & „KĄTowi” przyjaciele!