Trygonometria

Trygonometria to dział matematyki, którego przedmiotem badań są związki między bokami i kątami trójkątów oraz funkcje trygonometryczne. Trygonometria powstała i rozwinęła się głównie w związku z zagadnieniami pomiarów na powierzchni Ziemi oraz potrzebami żeglugi morskiej (określenia położenia i kierunku przy pomocy ciał niebieskich). Na rozwój trygonometrii miały też znaczący wpływ astronomia.

Powszechnie przypisuje się Pitagorasowi twierdzenie o następującej treści: pole kwadratu zbudowanego na przeciwprostokątnej trójkąta prostokątnego równe jest sumie pól kwadratów zbudowanych na przyprostokątnych. W dziełach innego greckiego myśliciela, Archimedesa nie było trygonometrii w ścisłym tego słowa znaczeniu, były jednak twierdzenia zaprezentowane w geometrycznej formie, które stanowią odpowiedniki pewnych trygonometrycznych praw i wzorów. Ptolemeusz stosował rozwijaną przez siebie trygonometrię do opisu ruchu. Leonhard Euler położył grunt dla analitycznego traktowania funkcji trygonometrycznych, definiując je jako nieskończone szeregi i wprowadzając tzw. "wzór Eulera". Używał skrótów zbliżonych do dzisiejszych: sin., cos., tang., cot., sec., i cosec.

Pitagoras Archimedes Ptolemeusz Leonhard Euler
Pitagoras Archimedes Ptolemeusz Leonhard Euler
Dawni twórcy współczesnej trygonometrii

Definiuje się cztery podstawowe funkcje trygonometryczne:

Są to: sinus (sin), cosinus (cos), tangens (tg), kotangens (ctg)

Oprócz nich definiuje się również secans (sec) i cosecans (cosec) lecz są one obecnie rzadko używane (i nie wnoszą nic nowego gdyż są odpowiednio odwrotnością cosinusa i sinusa).

Definicja funkcji trygonometrycznych w trójkącie prostokątnym

Funkcje trygonometryczne dla kątów ostrych można zdefiniować jako stosunki długości odpowiednich dwóch boków trójkąta prostokątnego przy kącie wewnętrznym.

Trójkąt prostokątny

sinusα (sinα) - stosunek długości przyprostokątnej a leżącej naprzeciw kąta ostrego α i przeciwprostokątnej c.

cosinusα (cosα) - stosunek długości przyprostokątnej b przyległej do kąta ostrego α i przeciwprostokątnej c.

tangensα (tgα) - stosunek długości przyprostokątnej a naprzeciw kąta ostrego α i przyprostokątnej b przyległej do kąta ostrego α.

cotangensα (ctgα) - stosunek długości przyprostokątnej b przyległej do kąta ostrego α i przyprostokątnej a naprzeciw kąta ostrego α.

Stosując zapis symboliczny mamy: sinα = a/c, cosα = b/c, tgα = a/b, ctgα = b/a.

Jak widać z powyższego rysunku kąt α zawiera się w przedziale (0, Π). Jednak funkcje trygonometryczne istnieją również dla kątów spoza tego przedziału, w szczególności dla kątów o dowolnej mierze. W tym celu musimy wprowadzić definicję...

Definicja funkcji trygonometrycznych kąta skierowanego

Obierzmy na płaszczyźnie prostokątny układ współrzędnych OXY. Następnie zaczepmy półprostą w początku układu współrzędnych O, połóżmy ją na osi OX i zacznijmy obrót wokół punktu O w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara. Półprosta ta będzie tworzyć z osią OX pewien kąt skierowany. Jego miara może być dowolna, gdyż półprostą możemy obrócić wokół O dowolną ilość razy. Oczywiście co kąt sytuacja będzie się powtarzać, co wskazuje że funkcje trygonometryczne powtarzają swoje wartości co .

Kąt skierowany

Funkcje trygonometryczne kąta skierowanego α określa się wzorami:

sinα = b/r, cosα = a/r, tgα = b/r, ctgα = b/r

gdzie r = OM.

Funkcje jak to funkcje. Lubią mieć wykresy. Na wykresach kąt α został zastąpiony przez x. Oto one:

Wykresy funkcji trygonometrycznych

Sinus

y = sinx

y = cosx

Tangens

y = tgx

y = ctgx

Warto chwilę zadumać się nad tymi malunkami. Widać uderzające podobieństwo pomiędzy 2 pierwszymi i 2 drugimi wykresami. W istocie, wykres funkcji cosinus jest po prostu przesuniętym o Π/2 w lewo wykresem funkcji sinus. W związku z tym obydwie funkcje mają ten sam okres, wynoszący . Ponadto, co widać z wykresu funkcje te są określone dla wszystkich x (także ujemnych - wartości ujemne odpowiadają obrotowi półprostej w kierunku zgodnym z ruchem wskazówek zegara). Kolejną rzeczą, którą widać jest to, że sinus i cosinus przyjmują wartości z przedziału <-1, 1>. 2 dolne wykresy również są podobne. Pierwsze co uderza to powtarzające się gałęzie w "pasach" o szerokości Π. Drugie, że wykres cotangensa powstaje z wykresu tangensa poprzez odbicie symetryczne względem osi OY i przesunięcie w prawo o wartość Π/2. Trzecie, że obydwie funkcje w regularnych odstępach są nieokreślone, tangens we wszystkich wielokrotnościach Π, kotangens w nieparzystych wielokrotnościach Π/2. I wreszcie, zarówno tangens jak i kotangens mogą przyjmować dowolne wartości.

Jak widać funkcje trygonometryczne są okresowe. W przypadku sinusa i cosinusa okres wynosi . Tangens powtarza się częściej - co Π. Powstaje pytanie jak zmnienia się okres funkcji trygonometrycznej gdy pomnożymy argument funkcji przez liczbę. Nietrudno stwierdzić, że okres funkcji y = sin2x wynosi Π. Związek pomiędzy współczynnikiem stojącym przy przy x i okresem funkcji trygonometrycznej pozostawiam do samodzielnego ustalenia.

Tożsamości trygonometryczne

Najpiękniejszą sprawą jest wzajemne przenikanie się funkcji trygonometrycznych. Świadczą o tym tożsamości. Oto i one:

Jedynka trygonometryczna to tożsamość trygonometryczna postaci:

Jedynka trygonometryczna

Mówi nam ona, że dla każdej wartości suma kwadratów sinusa i cosinusa = 1. Piękne, nieprawdaż...? Dowód? Spróbujmy zastosować twierdzenie Pitagorasa. Więcej nie powiem.. Ani słówka... Inne:

tgx

sinus 2x

cosinus 2x

tangens 2x

sinus x+y

cosinus x+y

sinusx+sinusy

cosinusx+cosinusy

cosinusx-cosinusy

Takich tożsamości jest całe mnóstwo. Jedne prostsze, inne trudniejsze. Ułatwiają nam, albo patrząc z innej strony uprzykrzają życie. Ale są. Jak powietrze i woda. Dlatego nie można ich ignorować.

Wzory redukcyjne

Brrr. Cóż za okropna nazwa. Ale spoko. To po prostu wzory pozwalające sprowadzić obliczanie wartości funkcji trygonometrycznych dowolnego kąta skierowanego do obliczenia wartości funkcji dla kąta ostrego, a dalej dla kąta o mierze z zakresu od 0° do 45°. W poniższych wzorach używana jest miara łukowa kąta. Oto kilka z nich:

sinus alfa

cosinus alfa

sinus pi/2 - alfa

cosinus pi/2 - alfa

... i wiele wiele innych. Wyprowadzenie ich jest dziecinnie łatwe. Należy tylko wnikliwie przyjrzeć się kątowi skierowanemu w układzie współrzędnych. Wzory redukcyjne można wyprowadzić na podstawie symetrii wykresów odpowiednich funkcji trygonometrycznych.

Znaki funkcji trygonometrycznych

Wiem wiem. Wierszyki są tu nie na miejscu. Ale powiem jeden. Bo świetnie zapamiętuje się znaki funkcji trygonometrycznych. Załatwia sprawę na cacy. Brzmi on (chodzi o ćwiartki układu współrzędnych): "W pierwszej wszystkie są dodatnie, wdrugiej tylko sinus, w trzeciej tangens i cotangens, a w czwartej cosinus". Która ćwiartka jest która? A... jeśli nie wiecie, posypią się jedyneczki...

Jeśli już mowa o znaku, to można odczytać z wykresu, że funkcja sinus jest nieparzysta. Podobnie wygląda sytuacja dla tangensa i kotangensa. Cosinus wyłamuje się z towarzystwa, gdyż jest funkcją parzystą.

Na koniec tabelka. Zawiera ona wartości funkcji trygonometrycznych oraz ich znaki chroniące nas przed rafami i mieliznami w rejsie po trygonometrii licealnej. Nie jestem zwolennikiem uczenia się czegokolwiek na pamięć ale tym razem zróbmy wyjatek...

Wartości funkcji trygonometrycznych

Okresowość funkcji trygonometrycznych wykorzystywana jest... do gnębienia uczniów. Równania trygonometryczne, bo o nich mowa, mają na ogół nieskończenie wiele rozwiązań. Na przykład chcemy rozwiązać równanie sinx = cosx. Cóż to oznacza? Tak, tak, chodzi o punkty przecięć sinusoidy i cosinusoidy. Jeden rzut oka na wykresy tych funkcji wystarcza by się przekonać, że jest ich nieskończenie wiele. Ale nie ma się czym zrażać. Przecież są one rozłożone regularnie. Znalezienie tej regularności pozostawiam jako ćwiczenie.

GÓRA         SZKOŁA         

©2007-2016 Łukasz Ługowski, Młodzieżowy Ośrodek Socjoterapii nr 2 „KĄT”. Wykonanie:
Licencja Creative Commons - zdjęcia, rysunki i obrazy należą do uczniów i pracowników MOSu „KĄT”; kilka przyjaciół i znajomych

Podziękowania: Uczniowie, nauczyciele & „KĄTowi” przyjaciele!