Wielomiany

W matematyce często napotykamy wyrażenia algebraiczne złożone ze zmiennych i stałych połączonych działaniami dodawania, odejmowania, mnożenia i podnoszenia do potęgi (naturalnej). Wyrażenia te w ogólności nazywamy wielomianami. My jednak będziemy zajmować się przypadkiem, w którym występuje tylko JEDNA zmienna (x). Tak tak, od razu widać, że wielomiany to nic innego niż funkcje (wszak literka x, kojarzy się jak nie z równaniem to z funkcją).

Wielomian jednej zmiennej

Wielomianem jednej zmiennej rzeczywistej x nazywamy funkcję postaci:

W(x) = anxn + an-1xn-1 + ... + a1x + a0

Liczba całkowita nieujemna n jest stopniem wielomianu, a liczby a0,. .., an (an ≠ 0) współczynnikami wielomianu. Wielomian nazywa się całkowitym, wymiernym, rzeczywistym lub zespolonym w zależności od zbioru, z którego pochodzą jego współczynniki. My będziemy zajmować się tylko wielomianami o współczynnikach całkowitych. Składnikami wielomianu są wyrażenia nazywane jednomianami.

Nawet o tym nie wiemy, ale znamy przecież już kilka wielomianów. Poznaliśmy funkcję stałą czyli wielomian postaci f(x) = c, funkcję liniową, czyli wielomian postaci f(x) = ax + b, gdzie (a≠0) i funkcję kwadratową, czyli wielomian postaci f(x) = ax2 + bx + c, gdzie (a≠0).

W świecie wielomianów jak w wojsku, istnieją stopnie.

Stopniem wielomianu nazywa się najwyższy ze stopni jego jednomianów (czyli współczynnik stojący przy x w najwyższej potędze)

Wartość wielomianu W(x) dla pewnej liczby p nazywamy to liczbę, którą otrzymuje się po podstawieniu liczby p do wielomianu W(x).

Pierwiastek (rzeczywisty) wielomianu to liczba rzeczywista x, taka że W(x) = 0. Wyraźnie zaznaczam, że chodzi o liczbę rzeczywist, bowiem istnieją (niedosiężne jeszcze dla nas) pierwiastki będące liczbami zespolonymi.

Wielomian W(x) = 0 (wszystkie współczynniki są równe zeru) nazywamy wielomianem zerowym i przyjmujemy, że jego stopień jest nieokreślony (w odróżnieniu od wielomianu stałego W(x) = a0, którego stopień jest 0).

Na wielomianach, podobnie jak na liczbach możemy przeprowadzać działania. Są to dodawanie, odejmowanie, mnożenie, dzielenie, największy wspólny dzielnik, złożenie. Sumą lub różnicą dwóch wielomianów jest wielomian, którego współczynniki przy danej potędze x równe są odpowiednio sumie lub różnicy współczynników w wielomianach, które dodajemy.

Działania na wielomianach

Jeśli:

P(x) = anxn + an-1xn-1 + ... + a1x + a0

Q(x) = bnxn + bn-1xn-1 + ... + b1x + b0

to:

P(x) + Q(x) = (an+bn)xn + (an-1+bn-1)xn-1 + ... + (a1+b1)x + a0+b0

Wzór ogólny na iloczyn dwóch wielomianów jest bardziej skomplikowany. Algorytm jest już prostszy. Mnożymy każdy wyraz pierwszego wielomianu przez każdy wyraz drugiego, a nastepnie redukujemy wyrazy podobne. Na przykład:

(3x2 + 2x - 5)·(x2 - x + 1) = 3x4 - 3x3 + 3x2 + 2x3 - 2x2 + 2x - 5x2 + 5x -5 = 3x4- x3 - 4x2 + 7x - 5

Najtrudniejsze jest dzielenie wielomianów. Niech W(x) i P(x) będą danymi wielomianami i P(x)≠0. Istnieją wówczas takie dwa wielomiany Q(x) i R(x), że

W(x) = Q(x)·P(x) + R(x)

Przy czym albo wielomiam R(x) = 0 albo stopień wielomianu R(x) jest mniejszy od stopnia wielomianu P(x). Wielomian R(x) nazywamy resztą z dzielenia wielomianu W(x) przez wielomian P(x). Jeśli reszta R(x) jest wielomianem zerowym, to mówimy, że wielomian W(x) jest podzielny przez wielomian P(x). Wówczas wielomian Q(x) nazywamy ilorazem wielomianu W(x) przez wielomian P(x), a wielomian P(x) nazywamy dzielnikiem wielomianu W(x).

Aby podzielić wielomian W(x) przez wielomian P(x) należy:

  1. Uporządkować dwa wielomiany (zapisać ich wyrazy w kolejności od największej do najmniejszej potęgi zmiennej)
  2. Podzielić pierwszy wyraz wielomianu W(x) przez pierwszy wyraz wielomianu P(x)
  3. Otrzymany jednomian pomnożyć przez wielomian P(x) i odjąć od wielomianu W(x). W wyniku odejmowania powstaje reszta R1(x)
  4. Pierwszy wyraz reszty R1(x) należy podzielić przez pierwszy wyraz wielomianu P(x)
  5. Otrzymany jednomian należy pomnożyć przez wielomianW(x) i odjąć od reszty R1(x). W wyniku odejmowania powstaje reszta R2(x)
  6. Powyższe punkty powtarzamy do uzyskania reszty równej zero lub reszty, której stopień jest niższy od stopnia wielomianu P(x).

Przykład:

Wykresy funkcji

Zatem x3 + 5x2 + 7 = (x2 + 1)·(x + 5) + (-x + 2)

Największy wspólny dzielnik wielomianów to wielomian najwyższego stopnia, który jest dzielnikiem obu z nich. Można go znaleźć używając tzw. algorytmu Euklidesa, podobnie jak w przypadku znajdowania NWD dwóch liczb naturalnych.

Wielomiany, ponieważ są funkcjami, można składać. Na przykład, złożeniem wielomianów (x - 1) i (x3+ 4x) jest wielomian (x - 1)3 + 4(x - 1), który po redukcji i uporządkowaniu wyrazów ma postać x3− 3x2 + 7x − 5. Na ogół składanie wielomianów nie jest przemienne. Złożeniem wielomianów (x3+ 4x) i (x - 1) (z poprzedniego przykładu) jest wielomian x3 + 4x - 1, co dowodzi prawdziwości poprzedniego stwierdzenia.

Rozkład wielomianu na czynniki

Rozkład wielomianu na czynniki polega na przedstawieniu go w postaci iloczynu wielomianów. Każdy wielomian rzeczywisty można rozłożyć na czynniki będące wielomianami rzeczywistymi stopnia co najwyżej drugiego. Na ogół rozłożenie wielomianu przysparza trudności. Rozkład wielomianu W(x) możemy przeprowadzić stosując na przykład wzory skróconego mnożenia lub znajdując pierwiastek p i wykorzystując podane niżej twierdzenie Bézout (dzieląc wielomian W(x) przez (x - p)).

Rozkład poprzez (chytre) wyłączenie wspólnego czynnika przed nawias.

x3− 3x2− 4x = x·(x2− 3x − 4) = x·(x + 1)·(x − 4)

x3− 3x2 + 4x - 2 = x3− 3x2 + 3x - 1 + x - 1 = (x - 1)3 + x - 1 =
(x - 1)·[(x - 1)2 + 1] = (x - 1)·(x2− 2x + 2)

Rozkład poprzez grupowanie wyrazów.

x3− 5x2 + 2x − 10 = (x3− 5x2) + (2x − 10) = x2·(x - 5)+2(x - 5) = (x − 5)·(x2 + 2)

2x3− 8x2 + x − 4 = (2x3− 8x2) + (x − 4) = 2x2·(x - 4)+(x - 4) = (x − 4)·(2x2 + 1)

TWIERDZENIE BEZOUT. Liczba p jest pierwiastkiem wielomianu W(x) wtedy i tylko wtedy, gdy wielomian W(x) jest podzielny przez dwumian x - p.

Dowód: Jeśli wielomian W(x) jest podzielny przez (x - p), to istnieje taki wielomian V(x), że W(x) = V(x)·(x - p). Jego wartość w punkcie p wynosi W(p) = V(p)·(p - p) = 0. Czyli p jest pierwiastkiem wielomianu W(x).

W drugą stronę, wielomian W(x) przy dzieleniu przez wielomian stopnia n daje wielomian V(x) oraz resztę o stopniu co najwyżej n - 1. Mamy więc W(x) = V(x)·(x - p) + Z(x), przy czym, ponieważ (x - p) jest wielomianem stopnia pierwszego, Z(x) jest wielomianem stopnia co najwyżej zerowego, czyli po prostu liczbą, którą będziemy oznaczać z. Ponieważ wartość W(x) w punkcie p wynosi zero, to V(p)·(p - p) + z = W(p), czyli V(p)·(p - p) + z = 0, czyli 0 + z = 0, czyli z = 0. Zatem W(x) dzieli się przez (x - p) bez reszty, zatem W(x) jest podzielne przez (x - p).

Twierdzenie o pierwiastkach wymiernych wielomianu

Jeśli wieloman W(x) = anxn + an-1xn-1 + ... + a1x + a0 ma współczynniki całkowite, to jego pierwiastki wymierne postaci p/q (jeśli istnieją) muszą spełniać warunek - p jest dzielnikiem a0, zaś q jest dzielnikiem an.

Przykład:

Jednym z 3 pierwiastków (podwójnym) wielomianu 4x3 - 3x + 1 jest liczba 1/2, liczba która spełnia powyższe warunki.

Mniej lub bardziej znane fakty ze świata wielomianów

Fakt 1. Wielomian stopnia n ma co najwyżej n pierwiastków. Oczywiście może się zdarzyć, że wielomian nie posiada żadnego pierwiastka. Z gimnazjum wiemy, że istnieją równania kwadratowe nie posiadające rozwiązań (kiedy?). Sprowadza się to do tego, że istnieją wielomiany stopnia 2, które nie posiadają pierwiastków. Zatem wystarczy wziąć iloczyn wielu takich wielomianów by otrzymać wielomian nie posiadający żadnego pierwiastka (rzeczywistego). Z faktem tym wiąże się inny fakt, mianowicie:

Fakt 2. Wielomian stopnia nieparzystego zawsze ma jakiś pierwiastek.

Przykład. Wielomian (x4 + 2x3 + 3x2 + 2x + 1) = (x2 + x + 1)·(x2 + x + 1) nie posiada żadnego pierwiastka (rzeczywistego). Dlaczego? Ano dlatego, że żaden z wielomianów w nawiasach po prawej stronie nie posiada pierwiastka (rzeczywistego). Widać, że tą metodą zawsze jesteśmy w stanie wskazać wielomian dowolnie dużego parzystego stopnia, który nie posiada pierwiastków.

Fakt 3. Jeżeli ułamek (nieskracalny) p/q jest pierwiastkiem wielomianu o współczynnikach całkowitych, to p jest dzielnikiem wyrazu wolnego a q jest dzielnikiem współczynnika stojącego przy najwyższej potędze x.

Ponieważ jako rzekliśmy wielomiany są pewnymi funkcjami, co szkodzi pokazać ich wykresy. Niżej znajduje się kilka takich wykresów.

Wielomian stopnia 2
Wygląda znajomo...? Tak!
To wielomian f(x) = x2 - x - 2 czyli f(x) = (x+1)(x-2)
Wielomian stopnia 3
Wdzięcznie "falujący" wielomian
f(x) = 1/14 (x+4)(x+1)(x-1)(x-3) + 0.5
Wielomian stopnia 4
Jeszcze bardziej "pokręcony" wielomian
f(x) = 1/5x3 + 4/5x2 - 7/5x - 2
Wielomian stopnia 5
I już zgoła "rosochaty" wielomian
f(x) = 1/20 (x+4)(x+2)(x+1)(x-1)(x-3) + 2

Zastanówmy się jakie własności mają wykresy wielomianów w prostokątnym układzie współrzędnych.

  • wykres przecina oś OY w punkcie o współrzędnych (0, a0), gdzie a0 to wyraz wolny tego wielomianu - wynika to po prostu z podstawienia x=0
  • wielomian stopnia zerowego ma wykres będący prostą równoległą do osi OX
  • wykresem wielomianu stopnia pierwszego jest prosta o współczynniku kierunkowym równym współczynnikowi stojącemu przy x; wielomian stopnia pierwszego to dobrze(?) nam znana funkcja liniowa
  • wykresem wielomianu stopnia 2 jest parabola
  • wykres wielomianu stopnia nieparzystego zawsze przynajmniej raz przecina oś OX. W przypadku stopnia parzystego tych przecieć może nie być. Dlaczego?

Wykresy wielomianów to wdzięczny obiekt do badania metodami analizy matematycznej (punkty przecięcia z osiami, punkty przegięcia, wypukłość, dążenie do nieskończoności itd.)

Z wielomianami wiąże się następujący fakt. Mając dany dowolny (n + 1) elementowy zbiór różnych punktów płaszczyzny (o różnych współrzędnych x) istnieje wielomian stopnia co najwyżej n którego wykres przechodzi przez te punkty. Zagadnienie znalezienia tego wielomianu nazywa się interpolacją wielomianową. Interpolacja może służyć na przykład do przybliżania wielomianami innych funkcji. Idąc dalej, każda funkcja ciągła w pewnym przedziale daje się przybliżyć w tym przedziale wielomianem (odpowiedniego stopnia rzecz jasna) z dowolną dokładnością. Jest to poważne twierdzenie matematyczne znane jako twierdzenie Weierstrassa- Stone'a.

Podziwiając kształty wykresów wielomianów spływa na nas olśnienie. Wszystkie te nierówności wielomianowe, nad którymi pociliśmy się z mozołem w jednej chwili stają się jasne. Przecież szukając x-ów, dla których dany wielomian W(x)>0 wystarczy sprawdzić dla jakich x-ów jego wykres znajduje się nad osią OX. Podobnie dla W(x)<0, tyle że w tym przypadku chodzi o wartości x, dla których wykres jest pod osią OX. Po tej dawce kontemplacji nikogo nie zdziwi już fakt, że przedziałów tych może być całkiem sporo.


GÓRA         SZKOŁA         

©2007-2016 Łukasz Ługowski, Młodzieżowy Ośrodek Socjoterapii nr 2 „KĄT”. Wykonanie:
Licencja Creative Commons - zdjęcia, rysunki i obrazy należą do uczniów i pracowników MOSu „KĄT”; kilka przyjaciół i znajomych

Podziękowania: Uczniowie, nauczyciele & „KĄTowi” przyjaciele!