DZIAŁANIA ARYTMETYCZNE NA POTĘGACH CAŁKOWITYCH LICZBY 10

Kompleks zajęć dotyczący przeliczania jednostek miar składa się z czterech odrębnych części, które są jednak nierozerwalnie połączone ze sobą tematycznie w takiej sekwencji, że wiedza wyłożona w zajęciach poprzednich jest niezbędną podstawą do przeprowadzenia następnych.
Czas trwania poszczególnych zajęć w zależności od zdolności ucznia od 1 do 2 godzin lekcyjnych.

      »»»    Działania arytmetyczne na potęgach całkowitych liczby 10 Pliki w formacie pdf

Zajęcia nr 2    MOS "KĄT", REEDUKACJA/MATEMATYKA

                  Temat:
Działania arytmetyczne na potęgach całkowitych liczby 10


      »»»    Część 0
Intro


      »»»    Część I
Mnożenie liczb będących całkowitą potęgą liczby 10


      »»»    Część II
Dzielenie liczb będących całkowitą potęgą liczby 10


      »»»    Część III
Mnożenie i dzielenie liczb przez 10 w dowolnej potędze

 

Część 0
Intro

Działania arytmetyczne przy użyciu liczb w zapisie wykładniczym ze specjalnym uwzględnieniem tych będących w postaci wzór i wzór ; wzór .

Innymi słowy mnożenie i dzielenie liczb będących całkowitą potęgą liczby 10 (czyli podstawa potęgi to 10, zaś wykładnik jest liczbą całkowitą).

UWAGA 1:    Intro

Przypominamy, że zbiór liczb całkowitych możemy przedstawić w postaci:

wzór .

Zatem liczby będące całkowitą potęgą 10 to liczby postaci:

  1. wzór , wzór , wzór , wzór ,    … itd.

     
  2. wzór , wzór , wzór ,    … itd.

     
  3. wzór ,

    uzasadnienie ostatniego wyniku, który wielu uczniom wydaje się dziwny znajdziecie dalej :).


 

Część I
Mnożenie liczb będących całkowitą potęgą liczby 10

Zasadniczy wzór, z którego będziemy dalej korzystać ma następującą postać:

wzór , gdzie wzór .      (1)

Uzasadnienie tego wzoru i sposoby korzystania z niego podajemy w poniższych przykładach:

Przykład 1

Zgodnie ze wzorem (1):

wzór ;

i rzeczywiście:

wzór .

Przykład 2

Ponownie w zgodzie ze wzorem (1):

wzór .

Uzasadnienie:

wzór .

Przykład 3

Także tym razem w zgodzie ze wzorem (1) możemy zapisać:

wzór ;

bowiem:

wzór .

Jak widzimy w przypadku kiedy  wzór  (czyli są liczbami postaci 1, 2, 3, ...) wzór (1) jest po prostu odbiciem faktu, że przy mnożeniu dwóch liczb ilość zer na końcu jednej liczby i ilość zer na końcu drugiej liczby się dodają.

Zajmiemy się teraz przypadkiem, kiedy w iloczynie  wzór  jeden z wykładników jest liczbą dodatnią a drugi ujemną.

Przykład 1

Zgodnie ze wzorem (1):

wzór .

Uzasadnienie:

wzór .

Widzimy jak tutaj wzór (1) jest ilustracją faktu, że zera w liczniku i zera w mianowniku się upraszczają i w liczniku zostają 5 - 3 = 2 zera.

Przykład 2

Zgodnie ze wzorem (1):

wzór ;

bo:

wzór .

Przykład 3

Zgodnie ze wzorem (1):

wzór ;

bo:

wzór .

Tutaj mieliśmy (dwa) 2 zera w liczniku i (pięć) 5 zer w mianowniku, więc po uproszczeniu zostały (trzy) 3 zera w mianowniku.

Przykład 4

Zgodnie ze wzorem (1):

wzór ;

bo:

wzór .

Omówimy teraz ciekawy przypadek, kiedy wykładniki m i n są liczbami przeciwnymi, czyli m = 5, n = -5 lub m = -1, n = 1 lub m = 365, n = -365 itd. Wówczas zachodzi:

  • wzór ,

     
  • wzór ,

     
  • wzór ;

liczba dzielona przez samą siebie zawsze daje jedynkę 1; ale przecież będąc w zgodzie ze wzorem (1) musimy napisać, że:

  • wzór ,

     
  • wzór ,

     
  • wzór ;

i widzimy teraz (porównując te dwie grupy powyższych zapisów) dlaczego  wzór . Ogólnie możemy powiedzieć, że zawsze zachodzi:

  • wzór .


wzór 


 

Część II
Dzielenie liczb będących całkowitą potęgą liczby 10

Na kilku prostych przykładach pokażemy jak przypadek dzielenia liczb będących całkowitymi potęgami dziesiątki można sprowadzić do przypadku mnożenia takich liczb.

UWAGA 2:    Dzielenie liczb będących całkowitą potęgą liczby 10

Pamiętamy, że dzielenie zamiast znaku (:) możemy zapisywać za pomocą kreski ułamkowej (zresztą ten drugi sposób jest na ogół znacznie wygodniejszy i bardziej praktyczny; czyli np.

wzór ; wzór ; wzór ;

wzór ; wzór .

Przykład 1

wzór

Przykład 2

wzór

Przykład 3

wzór

Przykład 4

wzór

UOGÓLNIENIE JEST OCZYWISTE:

wzór ;

czyli aby zamienić dzielenie na mnożenie po prostu zamieniamy znak wykładnika w dzielniku na przeciwny!!!

Zauważmy też, że wykorzystując wzór (1) - znajdujący się na początku Części I - możemy otrzymać gotowy wzór na dzielenie:

wzór ; oczywiście  wzór ,

czyli przy dzieleniu wykładniki się odejmują.

Przykład 1

wzór

Przykład 2

wzór

Przykład 3

wzór

Przykład 4

wzór


 

Część III
Mnożenie i dzielenie liczb przez 10 w dowolnej potędze

UWAGA 3:    Mnożenie i dzielenie liczb przez 10 w dowolnej potędze

Będzie tutaj mowa o mnożeniu i dzieleniu dowolnej liczby przez takie, które są postaci

wzór ,    gdzie wzór .

Przy użyciu wprowadzonego do tej pory aparatu możemy już bez trudności mnożyć i dzielić dowolną liczbę rzeczywistą r przez liczby postaci  wzór , gdzie  wzór .

Najwygodniej jest to robić doprowadzając najpierw liczbę r do postaci wykładniczej (o ile już w niej nie jest); zilustrujemy to na przykładach.

Przykład 1

wzór

Przykład 2

wzór

Przykład 3

wzór

Oczywiście dzielenie przez liczbę  wzór  jest równoznaczne z mnożeniem przez liczbę  wzór .

Przykład 4

wzór

Przykład 5

wzór

Przykład 6

wzór

Przykład 7

wzór

Przykład 8

wzór

Przykład 9

wzór

Teraz jesteśmy już w pełni przygotowani do przeliczania jednostek miar!!!



KONIEC zajęć nr 2

Autor projektu: Krzysiek Pilawski
Osadzenie na stronie: Grzegorz Spichał

GÓRA         SZKOŁA         

©2007-2016 Łukasz Ługowski, Młodzieżowy Ośrodek Socjoterapii nr 2 „KĄT”. Wykonanie:
Licencja Creative Commons - zdjęcia, rysunki i obrazy należą do uczniów i pracowników MOSu „KĄT”; kilka przyjaciół i znajomych

Podziękowania: Uczniowie, nauczyciele & „KĄTowi” przyjaciele!